Problema di cauchy

[blume92]

ciao a tutti ! ho un problema di cauchy dove pero non riesco più ad andare avanti nell integrazione..gli integrali gli ho fatti solo quest anno e ancora non mi sono molto chiari ..il problema è $ y'=(sqr(1+y)*(1+t^2)) y(0)=2 $ arrivo fino all integrazione ma poi sbaglio i calcoli e non mi viene qualcuno mi puo spegare come si ntegra per sostituzione questo??e perché il mio libro ha sostituito con t=cosh ??avrei bisogno di una spiegazione per i passaggi !grazie in anticipo!!

[peppe.carbone.90]

[xdom="JoJo_90"]Questa non è la sezione adatta. Sposto in Analisi matematica.[/xdom]

[Brancaleone1]

${ ( y'(t)=(1+t^2)sqrt(1+y(t)) ),( y(0)=2 ):}$

Posta qui l'integrale cui sei pervenuta e prova a svolgerlo secondo la sostituzione che hai effettuato: in questo modo saremo in grado di indicarti dove stai sbagliando

[blume92]

allora sono arrivata fino a ∫y'/(sqr(1+y)) = ∫(sqr(1+t^2) che sarebbe ∫1/(sqr(1+y))dy=∫ (sqr(1+t^2)) il problema è che ho provato in tutti i modi ma non mi viene poi ho guardato le soluzioni del libro e diceva di sostituire t con sinh e dt cosh perché ha fatto cio????

[Brancaleone1]

Dunque questa è una EDO di primo ordine a variabili separabili: infatti come hai scritto tu si perviene alla forma

$int 1/sqrt(1+y) text(d)y=int sqrt(1+t^2) text(d)t$

La risoluzione del membro di sinistra è facile: sostituendo $u=sqrt(1+y)$ si ottiene che $text(d) y=2u text(d) u$ da cui

$int 1/sqrt(1+y) text(d)y=int 2 text(d)u$

Il membro di destra invece è riconducibile ad una nota sostituzione tipica per funzioni $sqrt(a^2+x^2)$ attraverso le funzioni iperboliche, ossia

$x=a sinh(t) =>text(d)x=a cosh(t) text(d)t$ - difatti $D[sinh(t)]=cosh(t)$

Per cui:

$t=sinh(s)=>text(d)t=cosh(s)text(d)s$

e sostituendo si ottiene:

$int sqrt(1+t^2) text(d)t=int sqrt(1+sinh^2(s)) cosh(s)text(d)s=int cosh^2(s)text(d)s=int ((e^s+e^(-s))/2)^2 text(d)s=$

$=1/4 int(e^(2s)+e^(-2s)+2)text(d)s$

di facile risoluzione
PS: inserisci le formule tra due simboli di dollaro $$$, così possiamo visualizzarle correttamente. Puoi guardare qui.
EDIT:corretto errore

[blume92]

ok grazie =) solo che ora quindi mi rimane $ log(1+y)= 1/4 * ( e^2x +e^-2x + 2x) $ e ricavo la y mha non mi coincide il risultato ..dovrebbe venire $ y(t)=(1/4 sinh(^-1)*t +1/4 t(sqr(1+t^2)) + (sqr(3)))$ magari sono cose semplici e domande stupide mha purtroppo non riesco ad orientarmi non sono molto pratica faccio esercizi per migliorare mha è un casino perciò mi potresti spiegare come arriva a questo risultato?? grazie mille davvero

[Brancaleone1]

"blume92":solo che ora quindi mi rimane $ log(1+y)= 1/4 * ( e^2x +e^-2x + 2x) $

La risoluzione non è questa... come hai risolto i due integrali?

[blume92]

uno come come somma di integrali....e l altro mi viene log(1+y)..

[Brancaleone1]

"blume92":uno come come somma di integrali....

D'accordo, ma non l'hai calcolato bene... quanto fa $int e^(ax)text(d)x$?

"blume92":e l altro mi viene log(1+y)..

Impossibile, l'integranda è costante, quindi integrando mi aspetto una relazione lineare - non può venire fuori un logaritmo! Questo però è un errore grave: quanto fa $int c text( d)x$?

[blume92]

okei mi sono un pochino corretta uno mi viene $ (sqr(1+y))=1/4 (e^2s+e ^-2s +2s) $ $ y=((1/4((e^2s)/2 + (e^-2s)/-2 +2s))^2)-1)$ ∫c = cx ∫e^ax= e^ax /a è giusto questo integrale?? poi sostituisco s con t e mi viene $y= 1/4(sinh^-1 -t)(^2)-1 $ ?? pero devo aver sbagliato ancora qualcos altro, prima di fare cauchy ,perché non mi viene , ma non lo vedo che cosa ,cos altro ho sbagliato?? grazie mille per l aiuto comunque:)

[Brancaleone1]

"blume92":uno mi viene $ (sqr(1+y))=1/4 (e^2s+e ^-2s +2s) $

Eh non è ancora corretto... in realtà vale

$int 2 du=2u +c_1$

$1/4 int(e^(2s)+e ^(-2s) +2)ds=1/4(e^(2s)/2-e^(-2s)/2+2s)+c_2=1/4(sinh(2s)+2s)+c_2$

$s$ si ricava dalla relazione imposta dalla sostituzione $t=sinh(s)$, e vale $s=ln(sqrt(t^2+1)+t)$.
Mettendo tutto insieme:

$=>2sqrt(y+1)=1/4\{sinh[2ln(sqrt(t^2+1)+t)]+2ln(sqrt(t^2+1)+t)\}+c$

da cui

$y=1/64\{sinh[2ln(sqrt(t^2+1)+t)]+2ln(sqrt(t^2+1)+t)\}^2-1+c$

Ora imponi la condizione iniziale e trovi la soluzione al problema

[blume92]

okei ora ci sono :D grazie mille:)