Problema di Cauchy

[jumpy83-votailprof]

Salve a tutti!
Lo scorso compito di Analisi Matematica 2 è stato assegnato un problema di Cauchy che non ho mai affrontato prima.
Allego tale problema.

Vorrei sapere se il mio modo di procedere è corretto o no.

1° Pongo \(\displaystyle y=log t \) dunque \(\displaystyle y'=\frac{1}{t}*t' \)

2° sostituisco e trovo l'equazione differenziale
\(\displaystyle t'=x*t^2+t \)

3°Risolvo l'omogenea e trovo la soluzione generale in t (in cui figura la costante K derivante dalla risoluzione degli integrali)

4° Come soluzione particolare considero \(\displaystyle a*t^2+b*t+c \)

5° Trovata la soluzione in t ritorno a y considerando la trasformazione \(\displaystyle t=e^y \)

6° Trovo la costante K sostituendo la condizione di Cauchy.


Sbaglio? o ho fatto giusto?

Grazie in anticipo

[ciampax]

Sì, hai proceduto bene. Una cosa però può essere sottolineata: l'equazione trovata diventa
$$t'-t=xt^2,\qquad t(0)=e^{y(0)}=e$$
che risulta una equazione di Bernoulli la quale può essere risolta ponendo $t=z^{-1}$.

[jumpy83-votailprof]

"ciampax":Sì, hai proceduto bene. Una cosa però può essere sottolineata: l'equazione trovata diventa
$$t'-t=xt^2,\qquad t(0)=e^{y(0)}=e$$
che risulta una equazione di Bernoulli la quale può essere risolta ponendo $t=z^{-1}$.

Grazie per la risposta.
Potrei mandarti un mp? è importante altrimenti non mi sarei permesso di chiederlo

[ciampax]

Riguardo all'MP: in effetti quando leggevo pensavo a $t$ come variabile indipendente, per cui mi sembrava lecito. Effettivamente, essendo quella l'incognita, non puoi applicare quel metodo, in quanto l'equazione è non lineare. Ciò che devi fare è risolvere come se fosse una equazione di Bernoulli.

Scusami, ma leggendo di fretta ad un certo punto mi ero dimenticato quale fosse la variabile indipendente e quella dipendente.

[jumpy83-votailprof]

"ciampax":Riguardo all'MP: in effetti quando leggevo pensavo a $t$ come variabile indipendente, per cui mi sembrava lecito. Effettivamente, essendo quella l'incognita, non puoi applicare quel metodo, in quanto l'equazione è non lineare. Ciò che devi fare è risolvere come se fosse una equazione di Bernoulli.

Scusami, ma leggendo di fretta ad un certo punto mi ero dimenticato quale fosse la variabile indipendente e quella dipendente.

Figurati, capisco che la fretta non porta nulla di buono.
Poi ho voluto mandarti mp perché reputo (vedendo le tue risposte nel forum) che hai ottima preparazione e quella risposta che mi era stata data mi suonava strana.

Grazie ancora

[gugo82]

Anche senza troppi casini...

Notato che \(e^{y(x)}>0\), la EDO è equivalente a:
\[
e^{-y(x)}\ y^\prime (x) = x+e^{-y(x)}
\]
ossia:
\[
-\Big( e^{-y(x)}\Big)^\prime = x+ e^{-y(x)}\; ,
\]
sicché, posto \(u(x):=e^{-y(x)}\), la precedente si riscrive:
\[
u^\prime (x) + u(x) =-x\; ,
\]
che è una banalissima EDO lineare del primo ordine, a cui è accoppiata la condizione iniziale \(u(0)=e^{-1}\).