Problema di Cauchy

[Alpha881]

Buon giorno a tutti. Vorrei sapere se ho eseguito nel modo giusto il seguente problema di Cauchy

Determinare il valore del parametro reale $alpha$ per il quale il la soluzione del problema di Cauchy

$y''=2(e^(2x)+y')$
$y(0)=alpha$
$y'(0)=0$

verifichi $y(-3)=5$

L'ho svolto come segue

$y''=2(e^(2x)+y')$

$y''=2e^(2x)+2y'$

$y''-2y'=2e^(2x)$

$y''-2y'=0$

$lambda^2-2lambda=0$

$lambda(lambda-2)=0 => lambda_1=0 , lambda_2=2$

$y_(0)=c_1+c_2e^(2x)$

$y_p=axe^(2x)$ => integrale particolare

$y'=ae^(2x)+2axe^(2x)$

$y''=2ae^(2x)+2ae^(2x)+4axe^(2x)$

$y''=4axe^(2x)+4ae^(2x)$

Sostituisco nell'equazione differenziale

$4axe^(2x)+4ae^(2x)-2ae^(2x)-4axe^(2x)=2e^(2x)$

$4ae^(2x)=2e^(2x)$

$2a=a$

$a=1$


Allora ottengo come soluzione particolare

$y_p=xe^(2x)$

La soluzione dell'equazione differenziale è la somma dell'integrale generale e quello particolare e cioè:

$y=y_0+y_p=c_1+c_2e^(2x)+xe^(2x)$

Adesso passo alla risoluzione del problema di Cauchy

$y(0)=alpha => c_1+c_2=alpha$

$y'(0)=0 => c_2=0$

Allora metto a sistema

$ c_1+c_2=alpha$
$c_2=0$

e ottengo che

$c_1=alpha , c_2=0$

Sostituisco $c_1$ e $c_2$ in

$y=y_0+y_p=c_1+c_2e^(2x)+xe^(2x)$

allora si ha

$y=alpha+xe^(2x)$

A questo punto risolvo la condizione $y(-3)=5$

$-3=alpha+5e^10$

$alpha=5e^10-3$

Il mio dubbio sta proprio nel risolvere questa ultima condizione
Devo mettere $-3$ al posto di $y$ e $5$ al posto di $x$?

Grazie in anticipo e scusate per la lunghezza dell'argomento!

[lo92muse]

Ciao. Se non ho capito male ti troveresti con una funzione $y=\alpha + xe^{2x}$.
La calcoli in -3, ottenendo $y(-3)= \alpha -3e^{-6}$
Ora la devi eguagliare a 5, ricavando $\alpha$. Non ha senso la sostituzione che vorresti fare: infatti tu vuoi che per un dato y (-3) ottieni una carta x (5), che dipende dal parametro.Se i conti sono giusti, come mi sembra dovresti risolverlo così ..

[D4lF4zZI0]

Se la funzione è $y(x)= alpha +xe^(2x)$ allora devi scrivere $y(x=-3)=5$ e quindi $5=alpha+(-3)e^(-6)$

[Alpha881]

Quindi allora dovrebbe risultare così:

$y(-3)=alpha-3e^(-6)$

$alpha-3e^(-6)=5$

$alpha=3e^(-6)+5$

Giusto? E sulla $e^(-6)$ non si può fare nulla? Mi sembra un pò brutta la soluzione in termini matematici

[D4lF4zZI0]

Che male ti fa il termine $e^(-6)$ ? Se proprio ti sembra esteticamente non bello, scrivilo come $1/e^(6)$

[Alpha881]

Ok grazie mille per il chiarimento!!! Per il resto l'esercizio è corretto?

[D4lF4zZI0]

Si direi proprio di si

[Alpha881]

Grazie mille!!!!