Problema di Analisi [teorico]
[tex]\displaystyle f: (0,+\infty)-->R, f(x)f{'}(x)f{'}{'}(x)>0, f(1)=1,f(2)=4, f{'}(1)=2,f{'}(2)=4[/tex]$$, dobbiamo
dimostrare che $$[tex](\displaystyle (f(x)f(x+1)+8)(f(x)f(2x)+12)\ge 192x^2.\forall x>0 )[/tex] $$
dennysmathprof
dimostrare che $$[tex](\displaystyle (f(x)f(x+1)+8)(f(x)f(2x)+12)\ge 192x^2.\forall x>0 )[/tex] $$
dennysmathprof
Risposte
Benvenuto.
Ti informo che è obbligatorio postare i propri tentativi. Qualche idea su come impostarlo?
Ti informo che è obbligatorio postare i propri tentativi. Qualche idea su come impostarlo?
Seneca salve e Buon Natale
ho provato di lavorare con le tangenti hai punti 1,2, e si come e' crescente e concava
ho trovato [tex]f(x)f(x+1)+8 \ge 4x^2+7>4x^2[/tex] , ma l'altro non mi viene proprio.
Grazie
ho provato di lavorare con le tangenti hai punti 1,2, e si come e' crescente e concava
ho trovato [tex]f(x)f(x+1)+8 \ge 4x^2+7>4x^2[/tex] , ma l'altro non mi viene proprio.
Grazie
Dalle informazioni fornite risulta che \(f\geq g\), con
\[
g(x) := \begin{cases}
x, & \text{se}\ 0
4x-4, & \text{se}\ x\geq 2.
\end{cases}
\]
Con un po' di pazienza (distinguendo i casi) non dovrebbe essere difficile dimostrare che
\[
[g(x) g(x+1)+8]\cdot [g(x) g(2x)+12]-192 x^2\geq 0, \qquad \forall x>0.
\]
A questo punto si verifica facilmente che anche \(f\) soddisfa la medesima relazione.
Edit: per ridurre il numero di casi da analizzare, basta considerare
\[
g(x) := \begin{cases}
x, & \text{se}\ 0
\end{cases}
\]
\[
g(x) := \begin{cases}
x, & \text{se}\ 0
4x-4, & \text{se}\ x\geq 2.
\end{cases}
\]
Con un po' di pazienza (distinguendo i casi) non dovrebbe essere difficile dimostrare che
\[
[g(x) g(x+1)+8]\cdot [g(x) g(2x)+12]-192 x^2\geq 0, \qquad \forall x>0.
\]
A questo punto si verifica facilmente che anche \(f\) soddisfa la medesima relazione.
Edit: per ridurre il numero di casi da analizzare, basta considerare
\[
g(x) := \begin{cases}
x, & \text{se}\ 0
\end{cases}
\]
Rigel salve
Perche' [tex]f(x)\ge x, \forall x\in(0,1), , e ancora f(x)\ge 3x-2 ,x\ge 1[/tex]
io vedo che se [tex]A(1,1),B(2,4), y=3x-2[/tex] e quella che passa da questi punti A,B e si come e convessa [tex]f(x)\le 3x-2[/tex]
Perche' [tex]f(x)\ge x, \forall x\in(0,1), , e ancora f(x)\ge 3x-2 ,x\ge 1[/tex]
io vedo che se [tex]A(1,1),B(2,4), y=3x-2[/tex] e quella che passa da questi punti A,B e si come e convessa [tex]f(x)\le 3x-2[/tex]
"dennysmathprof":
Rigel salve
Perche' [tex]f(x)\ge x, \forall x\in(0,1), , e ancora f(x)\ge 3x-2 ,x\ge 1[/tex]
io vedo che se [tex]A(1,1),B(2,4), y=3x-2[/tex] e quella che passa da questi punti A,B e si come e concava [tex]f(x)\le 3x-2[/tex]
La funzione è convessa, dal momento che ha derivata seconda positiva.
Per il resto sai che \(f(0) := \lim_{x\to 0+} f(x) \geq 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\), e questo ti basta per dire che \(f\geq g\) con l'ultima \(g\) che ho scritto.
mi scusi ma ok si come e convessa dal 1 fino 2 non e' [tex]f(x)\le g(x)[/tex]. Gentilmente se volete spiegatemi
questo punto.Ancora si come il dominio e [tex]D_f=(0,+\infty)[/tex],possiamo scrivere [tex]f(0)[/tex]
questo punto.Ancora si come il dominio e [tex]D_f=(0,+\infty)[/tex],possiamo scrivere [tex]f(0)[/tex]
Scusa, hai ragione! Ho fatto un pasticcio: vediamo di rimediare.
Usando la convessità e le condizioni date sai che
\begin{gather*}
f(1) = 1,\ f'(1) = 2\quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq 2x-1,\\
f(2) = 4,\ f'(2) = 4\quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq 4x-4;
\end{gather*}
ricordando che \(f\geq 0\), possiamo riassumere queste informazioni nella condizione \(f\geq g\) con
\[
g(x) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ 0
4x-4, &\text{se}\ x\geq 3/2.
\end{cases}
\]
Mostriamo ora che \(g\) soddisfa la condizione richiesta (come abbiamo già detto, questo implica che anche \(f\) la soddisfi).
Ricordando che il prodotto di due funzioni convesse, non negative e monotone, con lo stesso tipo di monotonia, è anch'esso una funzione convessa, avremo che le due funzioni
\[
p(x) := g(x) g(x+1) + 8,\qquad q(x) = g(x) g(2x) + 12
\]
sono anch'esse convesse. Poiché sono entrambe derivabili in \(x=1\), avremo che
\begin{gather*}
p(x) \geq p(1) + p'(1) (x-1) = 12 + 12(x-1) = 12 x,\\
q(x) \geq q(1) + q'(1) (x-1) = 16+16(x-1) = 16x,
\end{gather*}
da cui deduciamo, per \(x > 0\),
\[
p(x)q(x) \geq 12x \cdot 16 x = 192 x^2 \qquad (x > 0).
\]
Usando la convessità e le condizioni date sai che
\begin{gather*}
f(1) = 1,\ f'(1) = 2\quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq 2x-1,\\
f(2) = 4,\ f'(2) = 4\quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq 4x-4;
\end{gather*}
ricordando che \(f\geq 0\), possiamo riassumere queste informazioni nella condizione \(f\geq g\) con
\[
g(x) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ 0
4x-4, &\text{se}\ x\geq 3/2.
\end{cases}
\]
Mostriamo ora che \(g\) soddisfa la condizione richiesta (come abbiamo già detto, questo implica che anche \(f\) la soddisfi).
Ricordando che il prodotto di due funzioni convesse, non negative e monotone, con lo stesso tipo di monotonia, è anch'esso una funzione convessa, avremo che le due funzioni
\[
p(x) := g(x) g(x+1) + 8,\qquad q(x) = g(x) g(2x) + 12
\]
sono anch'esse convesse. Poiché sono entrambe derivabili in \(x=1\), avremo che
\begin{gather*}
p(x) \geq p(1) + p'(1) (x-1) = 12 + 12(x-1) = 12 x,\\
q(x) \geq q(1) + q'(1) (x-1) = 16+16(x-1) = 16x,
\end{gather*}
da cui deduciamo, per \(x > 0\),
\[
p(x)q(x) \geq 12x \cdot 16 x = 192 x^2 \qquad (x > 0).
\]
grazie mille
provo cosi
provo cosi
Solo un'ultima osservazione.
Una volta capito il meccanismo, non c'è necessità di introdurre la funzione \(g\). Basta infatti osservare che, per quanto detto nel precedente messaggio, le funzioni
\[
p(x) := f(x) f(x+1) + 8, \qquad q(x) := f(x) f(2x) + 12
\]
sono convesse in \((0,+\infty)\) e ragionare come prima.
Una volta capito il meccanismo, non c'è necessità di introdurre la funzione \(g\). Basta infatti osservare che, per quanto detto nel precedente messaggio, le funzioni
\[
p(x) := f(x) f(x+1) + 8, \qquad q(x) := f(x) f(2x) + 12
\]
sono convesse in \((0,+\infty)\) e ragionare come prima.
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