Problema di analisi complessa
Nn riesco a risolvere un problema di calcolo di un integrale complesso.
La funzione integranda è 1/z (z è la variabile complessa) e il cammino di integrazione è un quadrato di lato 2 centrato nell'origine. L'integrale mi viene 0, ma in realtà dovrebbe venire 2 pi greco i.
Qualcuno saprebbe darmi un aiuto in merito?
La funzione integranda è 1/z (z è la variabile complessa) e il cammino di integrazione è un quadrato di lato 2 centrato nell'origine. L'integrale mi viene 0, ma in realtà dovrebbe venire 2 pi greco i.
Qualcuno saprebbe darmi un aiuto in merito?
Risposte
Quell'integrale non può mai venire $0$, in quanto la funzione integranda non è olomorfa all'interno della curva e il suo residuo non è nullo (immagino tu sappia cos'è un residuo e cos'è lo sviluppo di Laurent), bensì è $1$. Non è difficile... pensaci un po' o magari scrivi il tuo procedimento. In ogni caso sappi che devi banalmente applicare il I teorema sui residui.
Avrai sbagliato a fare la sostituzione del parametro e forse ti è venuta una funzione un po' troppo olomorfa.
Anche perché essendo il quadrato una spezzata dovrai sommare diversi contributi separatamente.
Anche perché essendo il quadrato una spezzata dovrai sommare diversi contributi separatamente.
Ho sommato come dici i quattro contributi relativi ai quattro lati, ma mi viene una somma di logaritmi che si annullano tra di loro, e nn riesco a capire da dove viene il 2pi greco.
p.s. comunque sicuramente sarà una mia lacuna sul calcolo degli integrali. V sarei molto grato se poteste aiutarmi.
p.s. comunque sicuramente sarà una mia lacuna sul calcolo degli integrali. V sarei molto grato se poteste aiutarmi.
Scusami filo, però la domanda che sto per porti è d'obbligo: i post altrui li leggi? Dico sul serio... nella mia precedente risposta ti ho detto che basta una semplice applicazione del I teorema sui residui... perché insisti a voler calcolare i contributi sui 4 lati? Se non sai l'enunciato del teorema da me citato dimmelo, magari ti fornisco una spiegazione... perché insistere con l'autolesionismo?
Vabbè allora nn ci siamo capiti. Non devo applicare il teorema dei residui. Devo semplicemente calcolare l'integrale in maniera classica. Ancora nn ci sono arrivato a studiare questo maledetto teorema dei residui, e quindi al momento il prof di metodi matematici non lo fa utilizzare.
Oh ragazzi se per voi è troppo difficile riportare il procedimento nn preoccupatevi. D'altra parte è difficile anche per me.
Oh ragazzi se per voi è troppo difficile riportare il procedimento nn preoccupatevi. D'altra parte è difficile anche per me.
Ok allora posta il tuo procedimento e ne parliamo. Cerca di tenere ben presente il verso di percorrenza, altrimenti esce fuori un errore di segno che può portare (magari è così nel tuo caso) e far elidere termini uguali che invece andrebbero sommati.
Una curiosità: non avete fatto neanche il teorema integrale di Cauchy?
Se avrai bisogno di appunti e/o esercizi per l'esame di metodi ti segnalerò il lavoro del professore che avevo io l'anno scorso (quando appunto diedi l'esame).
Una curiosità: non avete fatto neanche il teorema integrale di Cauchy?
Se avrai bisogno di appunti e/o esercizi per l'esame di metodi ti segnalerò il lavoro del professore che avevo io l'anno scorso (quando appunto diedi l'esame).
Non ricevendo risposta faccio di testa mia e presumo che il teorema integrale di Cauchy tu lo conosca. In ogni caso te lo ricordo qualora non te lo ricordassi:
Sia $f$ olomorfa nel dominio $D$, allora
$int_(+FD) f(z) dz = 0$ (dove $+FD$ denota la frontiera di $D$ percorsa in verso antiorario)
Devi calcolare l'integrale di $1/z$ esteso a un quadrato di lato $2$ centrato nell'origine.
Considera una circonferenza di raggio $r<2$ centrata nell'origine e orientata in senso orario. Indichiamo con $FQ$ la frontiera del quadrato e con $FC$ la frontiera del cerchio. Ricorda che l'integrale esteso a una curva percorsa in senso orario è uguale allo stesso integrale esteso alla curva percosa in senso opposto cambiato di segno. In particolare considera l'insieme formato dalla parte del piano complesso compreso tra il quadrato e il cerchio. All'interno di questo insieme la funzione $1/z$ è olomorfa e si può applicare il teorema di Cauchy quindi l'integrale è nullo. Vediamolo in formule:
(1) $int_(+FQ) 1/z dz - int_(+FC) 1/z dz = 0 => $(2) $int_(+FQ) 1/z dz = int_(+FC) 1/z dz$
Ma l'integrale a secondo membro nella (2) si calcola banalmente (è un integrale notevole) ed è pari a $2pij$.
Credo sia un modo molto elegante per calcolare l'integrale da te proposto.
Sia $f$ olomorfa nel dominio $D$, allora
$int_(+FD) f(z) dz = 0$ (dove $+FD$ denota la frontiera di $D$ percorsa in verso antiorario)
Devi calcolare l'integrale di $1/z$ esteso a un quadrato di lato $2$ centrato nell'origine.
Considera una circonferenza di raggio $r<2$ centrata nell'origine e orientata in senso orario. Indichiamo con $FQ$ la frontiera del quadrato e con $FC$ la frontiera del cerchio. Ricorda che l'integrale esteso a una curva percorsa in senso orario è uguale allo stesso integrale esteso alla curva percosa in senso opposto cambiato di segno. In particolare considera l'insieme formato dalla parte del piano complesso compreso tra il quadrato e il cerchio. All'interno di questo insieme la funzione $1/z$ è olomorfa e si può applicare il teorema di Cauchy quindi l'integrale è nullo. Vediamolo in formule:
(1) $int_(+FQ) 1/z dz - int_(+FC) 1/z dz = 0 => $(2) $int_(+FQ) 1/z dz = int_(+FC) 1/z dz$
Ma l'integrale a secondo membro nella (2) si calcola banalmente (è un integrale notevole) ed è pari a $2pij$.
Credo sia un modo molto elegante per calcolare l'integrale da te proposto.
Scusa nn avevo risposto preché nn ne avevo il tempo.
Comunque prossimamente scriverò il procedimento che ho usato.
Riguardo al tuo post, ovviamente propone una soluzione molto elegante, ma nn mi è utile perché utilizza il teorema di Cauchy che nn devo utilizzare.
Ti ringrazio comunque e mi riservo di scrivere il procedimento ke ho usato al più presto!
Comunque prossimamente scriverò il procedimento che ho usato.
Riguardo al tuo post, ovviamente propone una soluzione molto elegante, ma nn mi è utile perché utilizza il teorema di Cauchy che nn devo utilizzare.
Ti ringrazio comunque e mi riservo di scrivere il procedimento ke ho usato al più presto!
ok. Il procedimento che ho usato è questo.
Ho calcolato i 4 integrali della 1/z lungo i 4 lati del quadrato di lato 2 centrato nell'origine. Sono partito dal lato inferiore e ho proseguito in verso antiorario.
Il primo integrale mi viene ln (1-i) - ln (-1-i).
Il secondo integrale mi viene ln (1+i) - ln (1-i)
Il terzo mi viene ln (-1+i) - ln (1+i)
Il quarto mi viene ln (-1-i) - ln (-1+i).
Come vedi la somma fa zero.
Dove ho sbagliato???
Ho calcolato i 4 integrali della 1/z lungo i 4 lati del quadrato di lato 2 centrato nell'origine. Sono partito dal lato inferiore e ho proseguito in verso antiorario.
Il primo integrale mi viene ln (1-i) - ln (-1-i).
Il secondo integrale mi viene ln (1+i) - ln (1-i)
Il terzo mi viene ln (-1+i) - ln (1+i)
Il quarto mi viene ln (-1-i) - ln (-1+i).
Come vedi la somma fa zero.
Dove ho sbagliato???
Non ho fatto nessun conto ma hai considerato che sui lati orizzontali dz = dx mentre sui lati verticali dz = i dy ?
seeeeee 
Ritorno su questo topic perche' mi sono accorto
che il calcolo richiesto dipende dal logaritmo.
Ora e' noto che questa funzione nel campo complesso
e' polidroma e si puo' scrivere come $lnz=ln|z|+i*arg(z)$
Con un po' d'immaginazione la si puo' pensare rappresentata
su di una superficie a piu' fogli ed il passaggio da un foglio
all'altro avviene con continuita' girando attorno ai punti di diramazione.
Cio' pero' comporta una variazione dell'argomento pari a $2pi$
Nel nostro caso ,partendo per esempio dal vertice situato nel 1° quadrante
e "girando" sul perimetro,il contributo di ln|z| e' ovviamente
nullo perche' i quattro lati vengono percorsi a due a due in versi
opposti mentre l'argomento passa da $(pi)/4$ a $(pi)/4+2pi$ con una
variazione complessiva di $2pi$.Pertanto l'integrale avra' il valore
$2pi i$ come deve essere.
La cosa e' ancor piu' evidente se si tratta di integrali estesi ad una
circonferenza contenente al suo interno un polo della funzione integranda.
Per esempio, si voglia calcolare $int_(Gamma)1/(z-1)dz$ dove $Gamma$ e'
la circonferenza di centro l'origine del piano complesso e raggio r>1.
Il teorema dei residui fornisce come risultato immediato $2pi i$
mentre se si fa il conto direttamente ,parametrizzando la circonferenza
con $z=re^(itheta)$, e non si bada alla variazione dell'argomento si ottiene
come valore zero!
Che ne dite?
karl
che il calcolo richiesto dipende dal logaritmo.
Ora e' noto che questa funzione nel campo complesso
e' polidroma e si puo' scrivere come $lnz=ln|z|+i*arg(z)$
Con un po' d'immaginazione la si puo' pensare rappresentata
su di una superficie a piu' fogli ed il passaggio da un foglio
all'altro avviene con continuita' girando attorno ai punti di diramazione.
Cio' pero' comporta una variazione dell'argomento pari a $2pi$
Nel nostro caso ,partendo per esempio dal vertice situato nel 1° quadrante
e "girando" sul perimetro,il contributo di ln|z| e' ovviamente
nullo perche' i quattro lati vengono percorsi a due a due in versi
opposti mentre l'argomento passa da $(pi)/4$ a $(pi)/4+2pi$ con una
variazione complessiva di $2pi$.Pertanto l'integrale avra' il valore
$2pi i$ come deve essere.
La cosa e' ancor piu' evidente se si tratta di integrali estesi ad una
circonferenza contenente al suo interno un polo della funzione integranda.
Per esempio, si voglia calcolare $int_(Gamma)1/(z-1)dz$ dove $Gamma$ e'
la circonferenza di centro l'origine del piano complesso e raggio r>1.
Il teorema dei residui fornisce come risultato immediato $2pi i$
mentre se si fa il conto direttamente ,parametrizzando la circonferenza
con $z=re^(itheta)$, e non si bada alla variazione dell'argomento si ottiene
come valore zero!
Che ne dite?
karl
oooooooooohhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!
finalmente qualcosa di nuovo!!!!!!!
Penso proprio ke sia quello ke cercavo!
Grazie mille karl!!!
finalmente qualcosa di nuovo!!!!!!!
Penso proprio ke sia quello ke cercavo!
Grazie mille karl!!!
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