Problema di analisi complessa...
Salve a tutti ragazzi, non so se sto risolvendo correttamente questo esercizio!
Si studino le singolarità e si determini la parte principale dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z=0$ della funzione $f(z)=(1/z)*sin(1/z)+1/(z-1)$. Si calcoli poi $I=\int f(z)dz$ (esteso a $\Gamma$) ove $\Gamma$ è il bordo del rettangolo di vertici i punti $-1-i$, $2-i$, $2+i$, $-1+i$.
Le singolarità isolate di $f(z)$ sono $z=1$ e $z=0$
Si osserva immediatamente che poiché non esistono finiti i limiti di $f(z)$ per $z->0$ e $z->1$ le singolarità non sono eliminabili (è sufficiente fare questa osservazione per escludere che le singolarità siano eliminabili???!)
Poiché $lim_(z->1) (z-1)*f(z)=1$, $z=1$ è un polo semplice. (il valore del limite coincide con il residuo della singolarità)
Poiché $lim_(z->0) z*f(z)$ non esiste e $lim_(z->0) (z^n)*f(z)=0$ per ogni n diversa da 1, la singolarità z=0 non è un polo.
A questo punto è possibile affermare, per esclusione, che $z=0$ sia una singolarità essenziale??
Per scrivere la serie di Laurent centrata in 0 sviluppo $sin(1/z)$; si ha che:
$sin(1/z)=1/z-1/(6*z^3)+1/(120*z^5)+...$ da cui:
$(1/z)sin(1/z)=1/z^2-1/(6z^4)+1/(120z^6)+...$
A questo punto mi trovo in difficoltà... come devo trattare il termine $1/(z-1)$??
Ho provato ad adottare il metodo della divisione lunga, accorgendomi che i termini così ottenuti sono tutti ad esponente positivo (e quindi ininfluente nello scrivere la parte principale della serie di Laurent...)... Ma mi chiedo, è corretto?
Così facendo la parte principale sarebbe proprio quella individuata dal termine $(1/z)sin(1/z)$ e il residuo della singolarità $z=0$ sarebbe $0$...
Applicando il teorema dei residui, essendo entrambe le singolarità contenute nel dominio di bordo $\Gamma$, risulterebbe così $I=2*pi*i(1+0)=2*pi*i$
Si studino le singolarità e si determini la parte principale dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z=0$ della funzione $f(z)=(1/z)*sin(1/z)+1/(z-1)$. Si calcoli poi $I=\int f(z)dz$ (esteso a $\Gamma$) ove $\Gamma$ è il bordo del rettangolo di vertici i punti $-1-i$, $2-i$, $2+i$, $-1+i$.
Le singolarità isolate di $f(z)$ sono $z=1$ e $z=0$
Si osserva immediatamente che poiché non esistono finiti i limiti di $f(z)$ per $z->0$ e $z->1$ le singolarità non sono eliminabili (è sufficiente fare questa osservazione per escludere che le singolarità siano eliminabili???!)
Poiché $lim_(z->1) (z-1)*f(z)=1$, $z=1$ è un polo semplice. (il valore del limite coincide con il residuo della singolarità)
Poiché $lim_(z->0) z*f(z)$ non esiste e $lim_(z->0) (z^n)*f(z)=0$ per ogni n diversa da 1, la singolarità z=0 non è un polo.
A questo punto è possibile affermare, per esclusione, che $z=0$ sia una singolarità essenziale??
Per scrivere la serie di Laurent centrata in 0 sviluppo $sin(1/z)$; si ha che:
$sin(1/z)=1/z-1/(6*z^3)+1/(120*z^5)+...$ da cui:
$(1/z)sin(1/z)=1/z^2-1/(6z^4)+1/(120z^6)+...$
A questo punto mi trovo in difficoltà... come devo trattare il termine $1/(z-1)$??
Ho provato ad adottare il metodo della divisione lunga, accorgendomi che i termini così ottenuti sono tutti ad esponente positivo (e quindi ininfluente nello scrivere la parte principale della serie di Laurent...)... Ma mi chiedo, è corretto?
Così facendo la parte principale sarebbe proprio quella individuata dal termine $(1/z)sin(1/z)$ e il residuo della singolarità $z=0$ sarebbe $0$...
Applicando il teorema dei residui, essendo entrambe le singolarità contenute nel dominio di bordo $\Gamma$, risulterebbe così $I=2*pi*i(1+0)=2*pi*i$
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