Problema di analisi

[luisa6]

Determinare una funzione di cui si conosce la primitiva:



Studiare la funzione così ottenuta e calcolare l'area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione e dall'asse delle ascisse.

[goblyn]

Calcolo l'area della regione di piano, per lo studio di funzione si faccia avanti qualcun altro forza!

Se quella scritta (la chiamo F(x)) è una primitiva allora la funzione richiesta si ottiene derivandola!

f(x)= x*log(x) + x/2 - cos(x) + x*sin(x) + cos(x) - x/2 =
= x*log(x) + x*sin(x) =
= x * ( log(x) + sin(x) )

Il limite per x-->0+ di f(x) è 0 (con de l'Hopital ad esempio, scrivendo x come 1/(1/x) ).
Inoltre:

f'(x)= log(x) + sin(x) + 1 + x*cos(x)

il limite per x-->0+ di f'(x) è quindi -inf. La funzione parte dunque da x=0 con tangente verticale nella direzione delle y negative. Quindi subito dopo x=0 la f(x) è negativa. Cerchiamo allora la prima xs tale che f(xs)=0 così delimitiamo la regione di piano della quale calcolare l'area.

Riscriviamoci f(x):

f(x) = x * ( log(x) + sin(x) )

Essa si annulla per x=0 che è però escluso dal dominio. Dobbiamo risolvere l'equazione:

log(x) = -sin(x)

Graficamente si vede bene che c'è una sola intersezione xs con 0
xs vale circa 0.5787.

Dobbiamo allora calcolare (il segno - è per rendere positiva l'area):

Area = - INT[0;xs] f(x) dx =
= F(0) - F(xs)

La scrittura è impropria perché al posto di F(0) ci andrebbe il limite di F(x) per x-->0+. Comunque, usando tale notazione, F(0)=0. Quindi:

Area = -F(xs) = 0.1128 circa