Problema di algebra sulle basi e gli insiemi ortogonali

[robertstein]

potreste spiegarmi questo esercizio che non so proprio metterci le mani?

Dato il vettore v= (1,1,0,2) di R^4 , determinare:
a) L’insieme S dei vettori di R^4 ortogonali a v;
b) Una base ortogonale B di R^4 contenente il vettore v, spiegare poi perché B è una base di R^4.

[mc2]

Un vettore (a,b,c,d) e` perpendicolare a v(1,1,0,2) se:

[math]\vec{a}\cdot\vec{v}=0[/math]

cioe`

[math]a+b+2d=0[/math]

quindi l'insieme dei vettori ortogonali a v si puo` definire come (a,-a-2d,c,d), dove a,c,d sono numeri reali.

Una base si forma scegliendo 3 vettori di questo insieme che siano perpendicolari tra loro.

Il primo e` facile: u(0,0,1,0)

Per il secondo si puo` scegliere: w(1,-1,0,0), che e` sicuramente perpendicolare a u

Noterai che sia per u che per w vale la condizione: a+b+2d=0, che garantisce che sono automaticamente perpendicolari a v.

Il terzo vettore si trova impostando un sistema di equazioni lineari. Sia z(a,b,c,d) il vettore richiesto, devono essere soddisfatte le condizioni:

1) a+b+2d=0 (z perpendicolare a v)

2) c=0 (z perpendicolare a u)

3) a-b=0 (z perpendicolare a w)

Dalle condizioni 1,2 e 3 si trova che un vettore z puo` essere (1,1,0,-1)

I vettori v,u,w,z sono linearmente indipendenti e perpendicolari tra loro: formano quindi una base.