Problema determinazione carattere serie
Buonasere, ho queste due serie di cui non riesco a determinare il carattere
$sum_(n=1)^infty [[n^3+2n^2]/[n^3-n+1]]^ [[n^3+1]/[n-3]]$
e
$sum_(n=2)^infty [log(1/(2-3^(1/n)))]$.
Se fosse anche possibile consigliarmi un testo o qualsiasi altra cosa che mi permetta di risolvere anche esercizi di questo genere senza problemi.
Grazie mille.
$sum_(n=1)^infty [[n^3+2n^2]/[n^3-n+1]]^ [[n^3+1]/[n-3]]$
e
$sum_(n=2)^infty [log(1/(2-3^(1/n)))]$.
Se fosse anche possibile consigliarmi un testo o qualsiasi altra cosa che mi permetta di risolvere anche esercizi di questo genere senza problemi.
Grazie mille.
Risposte
Per la prima serie, a termini positivi, conviene scrivere il termine generale in forma esponenziale e applicare il confronto asintotico: quando $n\to+\infty$ hai che
\begin{align}
\exp\left[\displaystyle\frac{n^3+1}{n-2}\ln\left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}\right)\right]&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}-1\right)\right]=\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2+n-1}{n^3-n+1}\right)\right]\\
&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2 }{n^3 }\right)\right]\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2 }{n }\right)\right]
=\exp\left[ 2n \right]\to+\infty,
\end{align}
quindi la serie diverge per confronto; per la seconda serie il procedimento è analogo, applicando il confronto asintotico, essendo una serie a termini positivi, hai che
\begin{align}
\ln\left(\frac{1}{2-3^{1/n}}\right)\sim \frac{1}{2-3^{1/n}}-1=\frac{3^{1/n}-1}{1-3^{1/n}} \to \mbox{non converge,}
\end{align}
dove l'ultimo termine generale non è infinitesimo, quindi non convergente.
\begin{align}
\exp\left[\displaystyle\frac{n^3+1}{n-2}\ln\left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}\right)\right]&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{n^3+2n^2}{n^3-n+1}-1\right)\right]=\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2+n-1}{n^3-n+1}\right)\right]\\
&\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2n^2 }{n^3 }\right)\right]\sim\exp\left[\displaystyle n^2 \left(\frac{ 2 }{n }\right)\right]
=\exp\left[ 2n \right]\to+\infty,
\end{align}
quindi la serie diverge per confronto; per la seconda serie il procedimento è analogo, applicando il confronto asintotico, essendo una serie a termini positivi, hai che
\begin{align}
\ln\left(\frac{1}{2-3^{1/n}}\right)\sim \frac{1}{2-3^{1/n}}-1=\frac{3^{1/n}-1}{1-3^{1/n}} \to \mbox{non converge,}
\end{align}
dove l'ultimo termine generale non è infinitesimo, quindi non convergente.
Grazie mille.
Mi potreste spiegare nella prima serie al posto del logaritmo va il suo argomento -1 e il valore per il quale il logaritmo viene moltiplicato scompare, e la seconda, perchè ha ho lo stesso carattere del argomento del logaritmo non riesco a capire la motivazione di quella scrittura.
Mi potreste spiegare nella prima serie al posto del logaritmo va il suo argomento -1 e il valore per il quale il logaritmo viene moltiplicato scompare, e la seconda, perchè ha ho lo stesso carattere del argomento del logaritmo non riesco a capire la motivazione di quella scrittura.
è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che
\begin{align}
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
\begin{align}
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
Non so davvero come ringraziarvi ero da giorni che non riuscivo a risolverle.
Ultima cosa, perché cio che moltiplica il log nella prima serie diventa solo $n^2$ e il resto scompare?
Ultima cosa, perché cio che moltiplica il log nella prima serie diventa solo $n^2$ e il resto scompare?
ordine d'infinito....
Giusto giusto, grazie mille.
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