Problema derivata direzionale

[Spook]

Sia A un aperto di R a n, e sia g(x) una funzione definita su A. Se g(x)=0 su FrA (frontiera di A), come fa la derivata direzionale di g a non essere necessariamente nulla sempre su FrA?

[fireball1]

Immagino che per derivata direzionale di [tex]g:A \cup \partial A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] (con A aperto)
nei punti di [tex]\partial A[/tex], tu intenda la derivata in direzione normale uscente.
Ora, se [tex]x[/tex] è un punto di [tex]\partial A[/tex] e [tex]n[/tex] è il versore normale esterno in [tex]x[/tex], allora la funzione

[tex]\varphi_n(t):=g(x+tn)[/tex], poiché [tex]g[/tex] è definita solo nella chiusura di A (cioè in A

e sulla sua frontiera), non è definita per [tex]t>0[/tex]. Ha senso invece considerare tale funzione per ogni [tex]t<0[/tex]

(per [tex]t=0[/tex] è semplicemente [tex]\varphi_n(t)=\varphi_n(0)=g(x)=g_0[/tex], dove [tex]\displaystyle g_0:=\left.g(x)\right|_{x\in\partial A}[/tex]; nel tuo caso [tex]g_0=0[/tex]),

e dunque ha senso chiedersi se esiste [tex]\varphi_n^{\prime}(0) =\lim_{\,\,t\to0^-} \frac{\varphi_n(t)-\varphi_n(0)}{t} = \lim_{\,\,t\to0^-} \frac{g(x+tn)-g(x)}{t} =: \frac{\partial g}{\partial n} (x)[/tex],

dove ho chiamato per semplicità di notazione [tex]\varphi_n^{\prime}(0)[/tex] la derivata sinistra di [tex]\varphi_n[/tex] in [tex]0[/tex].

Quindi la derivata direzionale ha senso solo se viene definita in questo modo.

[fireball1]

Comunque, come controesempio, prendi l'intervallo $[0,1]$ e la funzione $f(x)=1/2-|x-1/2|$ definita su quest'intervallo
(si tratta di un "triangolo" con picco in $1/2$ e nullo in 0 e 1). Allora è evidente che la derivata
direzionale nei punti del bordo, che in questo caso coincide con la derivata sinistra in 1 e la derivata destra in 0,
vale 1 in 0 e -1 in 1, quindi non è nulla sui punti del bordo. Ciononostante $f(0)=f(1)=0$...
Nulla vieta che il grafico di una funzione (nel caso unidimensionale) intersechi l'asse x negli estremi dell'intervallo
(quindi la funzione si annulli sul bordo) e in quei punti abbia tangente obliqua...

[Spook]

Grazie. Io mi ero dato una spiegazione pensando al significato geometrico della derivata direzionale, ma direi che il tuo controesempio spazza via ogni dubbio. Complimenti per la spiegazione chiara e coincisa.

[fireball1]

Grazie, gugo82 mi ha contagiato.