Problema derivata
Ciao a tutti.. ho un problema.. non so come risolvere questa derivata.. qualcuno mi può aiutare ??
la funzione è:
$ f(x)=-1/(4*sqrtx* sqrt(2-sqrt x) $
grazie
la funzione è:
$ f(x)=-1/(4*sqrtx* sqrt(2-sqrt x) $
grazie
Risposte
Prova a vederla così 
$f(x)=-1/(4*sqrtx* sqrt(2-sqrt x))=-1/4 cdot 1/sqrtx cdot 1/sqrt(2-sqrtx)=-1/4 cdot x^(-1/2) cdot (2-x^(1/2))^(-1/2)$
$f(x)=-1/(4*sqrtx* sqrt(2-sqrt x))=-1/4 cdot 1/sqrtx cdot 1/sqrt(2-sqrtx)=-1/4 cdot x^(-1/2) cdot (2-x^(1/2))^(-1/2)$
Ho provato pure cosi ma non ci riesco...
Scomposta in quel modo la funzione è della forma
$f(x)=a*b(x)*c(x)$
dove a è una costante ($=-1/4$). Il teorema di derivazione composta ti dice che:
$D[f(x)]=D[a]*b(x)*c(x)+a*D[b(x)]*c(x)+a*b(x)*D[c(x)]$
Il primo termine è ovviamente nullo (derivata di una costante...), gli altri due invece cosa diventano?
$f(x)=a*b(x)*c(x)$
dove a è una costante ($=-1/4$). Il teorema di derivazione composta ti dice che:
$D[f(x)]=D[a]*b(x)*c(x)+a*D[b(x)]*c(x)+a*b(x)*D[c(x)]$
Il primo termine è ovviamente nullo (derivata di una costante...), gli altri due invece cosa diventano?
allora..
$ f'(x)= [(-1/4)*(-1/2x^(-3/2))(2-(x)^(1/2))^(-1/2)]+{(-1/4)*(x^(-1/2)) [(-1/2)*(2-x^(1/2))^(-3/2)*(-1/2(x)^(-1/2))} $
giusto?!
$ f'(x)= [(-1/4)*(-1/2x^(-3/2))(2-(x)^(1/2))^(-1/2)]+{(-1/4)*(x^(-1/2)) [(-1/2)*(2-x^(1/2))^(-3/2)*(-1/2(x)^(-1/2))} $
giusto?!
"xplasticx":
$ f'(x)= [(-1/4)*(-1/2x^(-3/2))(2-(x)^(1/2))^(-1/2)]+$
$+{(-1/4)*(x^(-1/2)) [(-1/2)*(2-x^(1/2))^(-3/2)*(-1/2(x)^(-1/2))} $
Sì
come posso semplificarlo??
Beh basta raccogliere...
Per derivare in maniera un po' più rapida basterebbe notare che la funzione assegnata \(f(x)\) si può scrivere come funzione composta di \(F(y):=-\frac{1}{4y\sqrt{2-y}}\) e di \(y(x):= \sqrt{x}\), quindi:
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= F^\prime (y(x))\ y^\prime (x) \\
&= -\frac{1}{4}\ \left( -\frac{1}{y^2 \sqrt{2-y}} + \frac{1}{2y(2-y)\sqrt{2-y}}\right)\Bigg|_{y=\sqrt{x}}\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
&= -\frac{1}{8x\sqrt{2-\sqrt{x}}}\ \left( -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2(2-\sqrt{x})}\right)\\
&= \frac{4-3\sqrt{x}}{16x(2-\sqrt{x})\sqrt{x}\sqrt{2-\sqrt{x}}}\; .
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= F^\prime (y(x))\ y^\prime (x) \\
&= -\frac{1}{4}\ \left( -\frac{1}{y^2 \sqrt{2-y}} + \frac{1}{2y(2-y)\sqrt{2-y}}\right)\Bigg|_{y=\sqrt{x}}\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
&= -\frac{1}{8x\sqrt{2-\sqrt{x}}}\ \left( -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2(2-\sqrt{x})}\right)\\
&= \frac{4-3\sqrt{x}}{16x(2-\sqrt{x})\sqrt{x}\sqrt{2-\sqrt{x}}}\; .
\end{split}
\]
Non riesco a capire come fai la derivata di:
$ F(y):=-\frac{1}{4y\sqrt{2-y}} $
che diventa:
$ F^\prime (y(x))= -\frac{1}{4}( -\frac{1}{y^2 \sqrt{2-y}} + \frac{1}{2y(2-y)\sqrt{2-y}}) $
mi puoi spiegare il passaggio..
intanto grazie a tutti.. gentilissimi!
$ F(y):=-\frac{1}{4y\sqrt{2-y}} $
che diventa:
$ F^\prime (y(x))= -\frac{1}{4}( -\frac{1}{y^2 \sqrt{2-y}} + \frac{1}{2y(2-y)\sqrt{2-y}}) $
mi puoi spiegare il passaggio..
intanto grazie a tutti.. gentilissimi!
Derivata del prodotto, dato che:
\[
F(y) = -\frac{1}{4}\ \frac{1}{y}\ \frac{1}{\sqrt{2-y}}\; .
\]
\[
F(y) = -\frac{1}{4}\ \frac{1}{y}\ \frac{1}{\sqrt{2-y}}\; .
\]
perfetto.. ho capito.. grazie mille!!!! 
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