Problema del minimo

[Injo]

Durante lo studio di un algoritmo mi sono imbattuto in questo problema.

Il tempo necessario all'esecuzione dell'algoritmo è [tex]T(x)=\frac{kxu^u}{\log x}\log\log x[/tex] con [tex]k[/tex] costante e [tex]u=\frac{\log x}{\log b}[/tex] con [tex]b[/tex] costante. La [tex]x>1[/tex] è un parametro e il problema da risolvere è quello di trovare una [tex]x[/tex] che minimizzi [tex]T(x)[/tex].

Io avrei pensato di considerare [tex]\frac{dT}{dx}=0[/tex] mentre negli appunti che ho viene considerato [tex]S(x)=\log T(x)[/tex] e quindi si pone [tex]\frac{dS}{dx}=0[/tex]. In questo modo il calcolo delle derivate sembra più semplice ma non capisco se c'è un'altra motivazione dietro.

Inoltre non ho ben chiaro perchè il metodo è lecito. Io pensavo che viene dal fatto che [tex]\log[/tex] è invertibile e monotona crescente ma non saprei...

[pater46]

Guarda, se non sbaglio, dato che il logaritmo, come hai detto tu, è monotono crescente, tecnicamente ha senso quello che c'è scritto, ovvero che i punti stazionari per $S(x)$ coincidono con con quelli di $T(x)$. E, dato che $T(x)$ è un tempo, non può assumere ( logicamente ) dei valori negativi dunque non ci sono problemi di domini su $S(x)$.

Tuttavia non capisco la necessità di tutto questo... Fossi in te studierei $T(x)$ come una normale funzione.

[ciampax]

In realtà, avendosi un termine [tex]$u^u$[/tex] la richiesta di studiare il logaritmo della funzione $T$ ha senso, in quanto permette di calcolare più agevolmente le derivate.

[Injo]

Sì, infatti credo sia proprio quello il motivo.

Grazie per le risposte.

[ciampax]

Prego.