Problema Convergenza Uniforme e Totale
Buongiorno, ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
Dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^\{+infty} (-1)^n (x^2+n) / n^2$ converge uniformemente ma non totalmente in ogni intervallo limitato \(\displaystyle [a,b] \)
La prima parte l'ho svolta ragionando in questa maniera:
la serie varia di segno e questa variazione è dovuta a $(-1)^n$. A questo punto, utilizzo il criterio di Leibniz per le successioni di funzioni. Cioè, verifico che la successione $a_n=(x^2+n) / n^2 $ sia infinitesimale e decrescente. Per fare ciò, calcolo:
$\lim_{n \to \infty} (x^2+n) / n^2 $ che essendo asintotica a $1/n$ questa va a zero(prima ipotesi del criterio soddisfatta).
Poi per controllare che $a_n$ sia decrescente posso scrivere $an$ come $x^2/n^2+1/n$ che è una composizione di funzioni decrescenti. Questo mi porta a concludere che funzione è convergente uniformemente
Secondo voi, è corretto il metodo che ho utilizzato?
Per la convergenza totale su un intervallo limitato, avevo pensato di utilizzare il teorema della convergenza totale di una serie di funzioni. Ma non saprei come iniziare.
Grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno
Dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^\{+infty} (-1)^n (x^2+n) / n^2$ converge uniformemente ma non totalmente in ogni intervallo limitato \(\displaystyle [a,b] \)
La prima parte l'ho svolta ragionando in questa maniera:
la serie varia di segno e questa variazione è dovuta a $(-1)^n$. A questo punto, utilizzo il criterio di Leibniz per le successioni di funzioni. Cioè, verifico che la successione $a_n=(x^2+n) / n^2 $ sia infinitesimale e decrescente. Per fare ciò, calcolo:
$\lim_{n \to \infty} (x^2+n) / n^2 $ che essendo asintotica a $1/n$ questa va a zero(prima ipotesi del criterio soddisfatta).
Poi per controllare che $a_n$ sia decrescente posso scrivere $an$ come $x^2/n^2+1/n$ che è una composizione di funzioni decrescenti. Questo mi porta a concludere che funzione è convergente uniformemente
Secondo voi, è corretto il metodo che ho utilizzato?
Per la convergenza totale su un intervallo limitato, avevo pensato di utilizzare il teorema della convergenza totale di una serie di funzioni. Ma non saprei come iniziare.
Grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, intanto:
$[\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n^2=-\pi^2/12] ^^ [\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n=-ln2] rarr$
$rarr [\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n(x^2+n)/n^2=x^2\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n^2+\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n=-\pi^2/12x^2-ln2]$
Inoltre:
$AA \epsilon in RR^+ EE barn_\epsilon in NN : n gt barn_\epsilon rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12| lt \epsilon$
$AA \epsilon in RR^+ EE barbarn_\epsilon in NN : n gt barbarn_\epsilon rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt \epsilon$
Infine:
$AA \epsilon in RR^+ : AA x in [a,b] ^^ n gt max {barn_\epsilon, barbarn_\epsilon} rarr$
$rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k(x^2+k)/k^2+\pi^2/12x^2+ln2|=|x^2\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12x^2+\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt$
$lt x^2|\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12|+|\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt (x^2+1)\epsilon lt [(max{|a|,|b|})^2+1]\epsilon$
$[\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n^2=-\pi^2/12] ^^ [\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n=-ln2] rarr$
$rarr [\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n(x^2+n)/n^2=x^2\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n^2+\sum_{n=1}^\{+infty}(-1)^n1/n=-\pi^2/12x^2-ln2]$
Inoltre:
$AA \epsilon in RR^+ EE barn_\epsilon in NN : n gt barn_\epsilon rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12| lt \epsilon$
$AA \epsilon in RR^+ EE barbarn_\epsilon in NN : n gt barbarn_\epsilon rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt \epsilon$
Infine:
$AA \epsilon in RR^+ : AA x in [a,b] ^^ n gt max {barn_\epsilon, barbarn_\epsilon} rarr$
$rarr |\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k(x^2+k)/k^2+\pi^2/12x^2+ln2|=|x^2\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12x^2+\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt$
$lt x^2|\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k^2+\pi^2/12|+|\sum_{k=1}^\{n}(-1)^k1/k+ln2| lt (x^2+1)\epsilon lt [(max{|a|,|b|})^2+1]\epsilon$
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