Problema convergenza serie di funz integrale
vorrei almeno un suggerimento riguardo la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni. Io non riesco a fare neanche un primo passo. Essendo un estremo dell'integrale infinito non posso usare il T di lagrange e neanche quello della media. Pensavo che la strada migliore sarebbe stata quella della maggiorazione ma non riesco neanche così.
$sum_{n=1}^oo x^n \int_{x}^oo e^{-ny^2} dy$
$sum_{n=1}^oo x^n \int_{x}^oo e^{-ny^2} dy$
Risposte
"Fenriz":
vorrei almeno un suggerimento riguardo la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni. Io non riesco a fare neanche un primo passo. Essendo un estremo dell'integrale infinito non posso usare il T di lagrange e neanche quello della media. Pensavo che la strada migliore sarebbe stata quella della maggiorazione ma non riesco neanche così.
$sum_{n=1}^oo x^n \int_{x}^oo e^{-ny^2} dy$
Io cercherei di far sputare a quell'integrale la dipendenza da $n$ con la sostituzione $t^2=ny^2$, o meglio $t=\sqrt{n}y$ per mezzo dell quale l'integrale diventa
$\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\sqrt{n}x}^oo e^{-t^2} dy=A_n/\sqrt{n}$ dove $A_n=\int_{\sqrt{n}x}^oo e^{-t^2} dy$. A questo punto puo' essere utile notare che $0\leq A_n\leq\int_{-oo}^{+oo}e^{-t^2} dt=\sqrt{\pi}$.
Tutto questo dovrebbe aiutare
Grazie mille quella maggiorazione mi piace proprio, ma ora che la conosco la applicherei direttamente senza fare prima la sostituzione. Potrei farlo? o c'è qualcosa che mi sfugge?
"Fenriz":
Grazie mille quella maggiorazione mi piace proprio, ma ora che la conosco la applicherei direttamente senza fare prima la sostituzione. Potrei farlo? o c'è qualcosa che mi sfugge?
Non capisco bene cosa mi stai chiedendo - senza la sostituzione nell'integrale io non so dimostrare la dipendenza da radice di $n$ ...
ho capito, la sostituzione serve a togliere n da $e^(-ny^2)$...
"Fenriz":
ho capito, la sostituzione serve a togliere n da $e^(-ny^2)$...
Proprio cosi'
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