Problema con un'espressione
Ciao a tutti,
Ho un piccolo problema con quest'espressione... Al di là di quello che serve, non capisco un passaggio e volevo vedere se riuscite ad aiutarmi a capirlo... Probabilmente è una banalità.. ma non mi viene in mente il perchè...
Questa è l'espressione... (la metto come spoiler perchè è un pò grande...)
In pratica quello che non capisco è il passaggi sottolineato in rosso... Il perchè Sx(v) sia coniugato...
Per parseval:
$ int_(-oo)^(+oo) |s(t)|^2 dt = int_(-oo)^(+oo) |S(f)|^2 df $
La formula dell'immagine parte da:
$ int_(cc(R) ^l) (Y(s)-X(s))^2 ds $
(dove Y=X con il cappello)
Essendo Sx(v) la trasformata di Fourier di X(s)
non capisco quindi da dove spunti quel coniugato...
Grazie mille per l'aiuto
Ho un piccolo problema con quest'espressione... Al di là di quello che serve, non capisco un passaggio e volevo vedere se riuscite ad aiutarmi a capirlo... Probabilmente è una banalità.. ma non mi viene in mente il perchè...
Questa è l'espressione... (la metto come spoiler perchè è un pò grande...)
In pratica quello che non capisco è il passaggi sottolineato in rosso... Il perchè Sx(v) sia coniugato...
Per parseval:
$ int_(-oo)^(+oo) |s(t)|^2 dt = int_(-oo)^(+oo) |S(f)|^2 df $
La formula dell'immagine parte da:
$ int_(cc(R) ^l) (Y(s)-X(s))^2 ds $
(dove Y=X con il cappello)
Essendo Sx(v) la trasformata di Fourier di X(s)
non capisco quindi da dove spunti quel coniugato...
Grazie mille per l'aiuto

Risposte
Stiamo parlando di funzioni complesse, quindi
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^*(t)\text{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)Y^*(f)\text{d}f[/tex]
Se [tex]x(t)=y(t)[/tex] la relazione diventa quella che hai scritto tu.
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^*(t)\text{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)Y^*(f)\text{d}f[/tex]
Se [tex]x(t)=y(t)[/tex] la relazione diventa quella che hai scritto tu.
Si si quello lo so... Solo che nell'immagine salta a piedi pari un bel pò di passaggi... E da quello che ho capito... i passaggi dovrebbero essere questi:
$ int_(cc(R)^l) ([Y(s)-X(s)]^2)ds =int_(cc(R)^l) ([Y(s)]^2)ds + int_(cc(R)^l) ([X(s)]^2)ds -int_(cc(R)^l) (2[Y(s)][X(s)])ds $
Dopo di che utilizza parseval e quindi trasforma secondo Fourier tutto... e dovrebbe diventare diverso da quello che scrive nell'immagine...
Oppure.... altra pensata....
partendo da
$ int_(cc(R)^l) ([Y(s)-X(s)]^2)ds $
e applicando subito parseval si ottiene:
$ int_(cc(R)^l) ([Sy(v)-Sx(v)]^2)dv $
che sviluppata diventa:
$ int_(cc(R)^l) ([Sy(v)]^2)dv + int_(cc(R)^l) ([S(v)]^2)dv -int_(cc(R)^l) (2[Sy(v)][Sx(v)])dv $
che cmq è diversa da quella dell'immagine... Non capisco il termine coniugato...
$ int_(cc(R)^l) ([Y(s)-X(s)]^2)ds =int_(cc(R)^l) ([Y(s)]^2)ds + int_(cc(R)^l) ([X(s)]^2)ds -int_(cc(R)^l) (2[Y(s)][X(s)])ds $
Dopo di che utilizza parseval e quindi trasforma secondo Fourier tutto... e dovrebbe diventare diverso da quello che scrive nell'immagine...
Oppure.... altra pensata....
partendo da
$ int_(cc(R)^l) ([Y(s)-X(s)]^2)ds $
e applicando subito parseval si ottiene:
$ int_(cc(R)^l) ([Sy(v)-Sx(v)]^2)dv $
che sviluppata diventa:
$ int_(cc(R)^l) ([Sy(v)]^2)dv + int_(cc(R)^l) ([S(v)]^2)dv -int_(cc(R)^l) (2[Sy(v)][Sx(v)])dv $
che cmq è diversa da quella dell'immagine... Non capisco il termine coniugato...

Scusate... Non per spammare... Ma qualcuno ha qualche idea a riguardo?