Problema con una serie di funzioni

[joejoe2]

Ragazzi buon giorno a tutti; ho un piccolo problema con questa serie di funzioni $sum_{n=0}^\infty\frac{(logx)^{(n)}}{logn}$
Mi viene chiesto di stabilire se essa è derivabile termine a termine nel punto (1/2,1). Premetto che per risolverla l'ho prima semplificata trasformandola in una serie di potenze e poi l'ho studiata. Se non ricordo male per avere la derivabilità termine a termine devo provare che: 1) la serie di termine generale $f(x)$ sia convergente puntualmente 2)quella derivata risulti convergente uniformemente (gentilmente il critierio è questo ?)
dopodichè v propongo il mio svolgimento posto $y=f(x)$ devo studiare la serie $sum_{n=0}^\infty\frac{y^{(n)}}{logn}$ che ha raggio di convergenza =1 quindi essa conv. assolutamente in $-1<=y<=1$. poichè risulta convergere anche negli estremi allora essa conv.totalmente nell'insieme sopracitato. Ritornando alla serie di partenza possiamo dire che la serie converge $e^{-1}<=x<=e^{1}$.
Ora la serie derivata che devo studiare e che riporto tenendo conto della sostituzione iniziale è la seguente:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n(y)^{(n-1)}}{logn} - frac{(y)^{(n)}}{n(logn)^2}$. ???
P.s. è la prima volta che scrivo su questo forum e pur avendo letto tutto il regolamento spero di non aver infranto le regole, qualora l'avessi fatto vi invito a segnalarmi prontamente gli errori in modo da poterli correggere al mio prossimo post.

[j18eos]

Questa serie non ha senso per [tex]n\in\{0;1\}[/tex]; il criterio da te citato è corretto; la sostituzione la trovo corretta!

La derivata che tu svolgi è rispetto alla x per cui la serie dei termini derivati è [tex]$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n(\log x)^{n-1}}{x\log n}$[/tex], fammi sapere.

[joejoe2]

si effettivamente ripensandoci ho commesso un errore nel derivare la serie di potenze della variabile $y$ quello che adesso m chiedo per provare la convergenza di tale serie derivata ho bisogno di un ulteriore sostituzione; se si mica posso imporre $y=frac(logx)(x)$??

[j18eos]

Si potrebbe sriverla così [tex]$\frac{1}{x}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n(\log x)^{n-1}}{\log n}$[/tex] ed optare per la sostituzione [tex]y=\log x[/tex].

[joejoe2]

quindi optando per la sostituzione $y=logx$ troverei nuovamente un raggio di convergenza pari a 1. ma poi sostituendo a ritroso per avere delle condizioni riguardo alla $x$ verrebbe fuori un intervallo proprio da x dipendente?

[j18eos]

Se avessi capito bene ti verrebbe: [tex]1>|y|=|\log x|\iff-1<\log x<1\iff e^{-1}

Cita

Segnala

[joejoe2]

allora su quanto tu hai scritto sono perfettamente d'accordo e capisco benissimo come posso arrivare a tale risultato; il problema ke t ponevo, probabilmente erroneamente io, è il seguente il fatto ke abbia $frac(1)(x)$ come fattore davanti alla serie di potenze non influisce sui risultati dell'intervallo di convergenza??? è solo questo che non m è chiaro

[j18eos]

Esatto! Spero di essere stato chiaro e non oscuro

[joejoe2]

no sei stato chiarissimo piuttosto scusami se a un tratto mi sono inceppato facendoti perdere tempo a riscrivereXD

[j18eos]

Volevo solo sottolineare una cosa inutile che ho detto: [tex]0\not\in]e^{-1};e[[/tex]