Problema con una serie

[leooel92]

Salve sono uno studente di Ingegneria, ho un problema con la suddetta serie allegata. Dunque vi espongo in primis il mio ragionamento : Io farei l'asintotico di questa seria in modo da trovarmi (n^(a)/n^(2a)) = 1/n^(a) , risolvibile facilmente tramite il teorema della serie armonica generalizzata. Controllando però le soluzioni del mio professore lui la tratta in modo completamente differente. Grazie mille

[leooel92]

Vorrei capire come dovrei ragionare per trovare la soluzione , grazie mille

[Berationalgetreal]

\[ \frac{ n^a \cos \left ( \frac{1}{n} \right ) - n^a}{n^{2a}} = - \frac {1 - \cos \left (\frac{1}{n} \right )}{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{1}{ n^{a + 2}} \]

La serie è a termini negativi. Non è un problema, basta portare fuori il meno dalla serie. Adesso puoi usare il criterio del confronto asintotico, utilizzando la relazione che ti ho fatto vedere.

[leooel92]

[quote=Berationalgetreal]\[ \frac{ n^a \cos \left ( \frac{1}{n} \right ) - n^a}{n^{2a}} = - \frac {1 - \cos \left (\frac{1}{n} \right )}{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{1}{ n^{a + 2}} \]

La serie è a termini negativi. Non è un problema, basta portare fuori il meno dalla serie. Adesso puoi usare il criterio del confronto asintotico, utilizzando la relazione che ti ho fatto vedere.[/

Salve prima di tutto grazie mille della risposta , però non capisco come hai ricavato questa relazione in particolare nel denominatore. Grazie ancora

[Berationalgetreal]

Prima dividi numeratore e denominatore per $n^{\alpha}$. Poi noti che $ n ^{\alpha} = \frac{n^{\alpha + 2}}{n^2}$.
Cosa c'è di poco chiaro?

[leooel92]

Salve , ho capito tutto. Anche se alla fine ho preferito risolvere con l'utilizzo dei limiti notevoli. Grazie mille ancora