Problema con una serie

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Non riesco a risolvere questo esercizio

$ sum(1/((1-sin2x)^k)) $ per k che va da $0 $ a $ oo $

Devo dire per quali valori di $ x$ converge e calcolare la somma.

Essendo una serie geometrica di ragione $ 1/((1-sin2x) $ , ho detto che converge quando essa è compresa tra $ -1<(1/(1-sin2x))<1 $

Quindi ho risolto le due disequazioni

1) $ (1/(1-sin2x))<1 rArr sin(2x)/(1-sin2x) <0 $

Ho posto

$ sin2x>0 rArr 0
$ 1 -sin2x>0 rArr MAI $

Quindi la disequazione è verificata se $ 0
A questo proposito la periodicità delle funzioni non conta vero?

Stessa cosa per la disequazione numero 2

2) $ 1/(1 -sin2x)> -1 $ $ 1/(1 -sin2x)> -1 rArr-sin(2x)/(1-sin2x)>0 $

Questa disequazione mi risulta avere soluzioni per

$ 0
Quindi intersecando le soluzioni di 1) e 2) ottengo l'insieme

$ 0
Sono giuste le soluzioni trovate e quindi l'insieme di convergenza?
Inoltre come faccio a calcolare la somma?

[Zero87]

"Marthy_92":A questo proposito la periodicità delle funzioni non conta vero?

Mah, ho da obiettare.

Anche se mi lascia perplesso quest'altra affermazione

"Marthy_92": $ 1 -sin2x>0 rArr MAI $

Se $x=0$ hai $1-0>0$ che riporta, ad es.

Farei in un modo leggermente diverso.

Intanto escludiamo $sin(2x)=1$ cioè $2x=\pi/2+2k\pi$ ovvero $x=pi/4+k\pi$, per un fatto di denominatore che si annulla e, dunque, non è proprio definito il termine.

Comunque $1-sin(2x)=1-2sin(x)cos(x)=cos^2(x)+sin^2(x)-2sin(x)cos(x)=(cos(x)-sin(x))^2$: da questo deduco che non può mai essere negativo il termine della serie simil-geometrica.

Torniamo a prima: mi resta da capire quando
$1/(1-sin(2x))<1$
ovvero, essendo una quantità positiva il denominatore, posso invertire senza problemi (cambiando il verso della disequazione ovvio) e ho
$1-sin(2x)>1$
cioè
$-sin(2x)>0$ da cui $sin(2x)<0$ che vale solo per $pi+2k\pi<2x<2k\pi$ ovvero $pi/2+k\pi < x
Beh, per la somma sai che
$\sum_(k=0)^\infty 1/(x^k) = 1/(1-x)$ se $|x|<1$.[nota]L'ho tirata fuori dai polverosi cassetti della memoria, è giusta? [/nota]
Quindi quando trovi dove l'argomento rispetta quella condizione... sostituisci.