Problema con una maggiorazione in un limite di due variabili

[mostgiochi]

Dovrei risolvere questo limite:

$$\frac{sin(x^4+y^4)+2xyarctan(xy)}{x^2+y^2}$$ per $(x, y)$ che tende a $(0, 0)$

Lo vorrei risolvere con le seguenti maggiorazioni:
$$0\leq\frac{|sin(x^4+y^4)+2xyarctan(xy)|}{x^2+y^2}\leq\frac{|sin(x^4+y^4)|+|2xyarctan(xy)|}{x^2+y^2}\leq\frac{1+\pi|xy|}{x^2+y^2}$$ che tende ad $\infty$.
Cosa sbaglio? Grazie.

[Mephlip]

Non sbagli nulla: tuttavia le stime che hai usato sul seno e sull'arcotangente sono troppo brutali, al punto tale da non darti informazioni. Ti conviene usare che per ogni $t\in\mathbb{R}$ è $|\sin t| \leq |t|$ e $|\arctan t| \leq |t|$.

[mostgiochi]

AH ok, grazie mille. In generale come capisco se sono troppo "brutale" oppure no?

[Mephlip]

Prego! Dipende un po' dal contesto: in questo caso volevi dimostrare che il limite è proprio $0$, quindi ti servono delle stime abbastanza serrate da avere sia dal basso che dall'alto due quantità che tendono a $0$.

Se tu avessi voluto dimostrare invece che una certa funzione è minore di, ad esempio, $65490503490$ in un determinato insieme, magari delle stime grezze bastano e avanzano (ma pure là dipende dalla funzione, dall'insieme, ecc.; insomma, dipende un po' dal contesto).