Problema con una disequazione facile

[jambon]

Nello studio delle serie dovevo mostrare che è a termini positivi per applicare qualche criterio comodo.

Tuttavia dopo varie semplificazioni arrivo ad avere il termine generale $a_n=e^(1/n)-1-1/n$ ho ricontrollato i calcoli e son giusti ma mi blocco nel porla $>=0$.

[pilloeffe]

Ciao jambon,

Non so se ho capito bene la domanda, ma usando lo sviluppo in serie di $e^x = \sum_{k = 0}^{+\infty} x^k/(k!) $ con $x = 1/n > 0$ si ha:

$e^{1/n} - 1 = 1/n + ... > 1/n \implies e^{1/n} - 1 - 1/n > 0 $

[jambon]

Sì esatto quella l'ho applicata, ma il mio dubbio è più stupido per applicare il confronto asintotico dovrei verificare che valga la condizione di serie a termini non negativi: $e^(1/n)-1-1/n>=0$
MI vergogno ma,mi son bloccato sulla disequazione più che altro..

[pilloeffe]

Perdonami, ma evidentemente non avevo capito la domanda e continuo a non capirla.
Si ha:

$ e^{1/n} - 1 - 1/n > 0 \qquad \AA n \in \NN_{> 0} $

Non c'è alcuna disequazione da risolvere...

[jambon]

Perché sono uno stupido, trasformavo an in f(n)->f(x) e cercavo di risolvere f(x)>0... ma è ovvio sia n nei naturali. Lascia stare....

Una sola domanda, ma come potrei risolvere ivece $e^(1/x)-1-1/x$ $,x\inRR$?
Già che orami ci stavo ragionando sopra.

[@melia]

È un'equazione che si risolve graficamente, ma rappresentando $y=e^x$ e $y=1+1/x$ viene un po' una schifezza. Forse conviene lavorarci prima un po' sopra:
$ e^(1/x)-1-1/x >0$ diventa $ (xe^(1/x)-x-1)/x >0$ che si può dividere nelle due disequazioni
1) $ xe^(1/x)>x+1\ \text{se}\ \ x>0 $ e
2) $ xe^(1/x) Con un veloce grafico di $y= xe^(1/x)$ si trova subito che la retta $y=x+1$ è asintoto della funzione e la disuguaglianza iniziale è sempre verificata.

[jambon]

Grazie Amelia

Graficamentemi veniva proprio brutto e pensavo di sbagliare. Non ho pensato al rimaneggiamento che rende le cose molto più comprensibili!

Buon sabato sera