Problema con un limite in due variabili

[compa90]

Buongiorno, mi sono bloccato con il seguente limite $lim_((x,y) to (0,0))(x^2y)/(x^4+y^2)$.
In particolare, passando alle coordinate polari ottengo

$f(x,y)=f(rho,beta)=(rho^2cos^2(beta)sin(beta))/(rho^4cos^4(beta)+sin^2(beta))$

ora la funzione $f(rho,beta) $tende a zero quando $rho$ tende a zero, per ogni $beta in[0,2pi]$, però non uniformemente. L'autore per dimostrarlo procede nella seguente maniera, considera la curva $y=x^2$ per cui $rho=sin(beta)/cos^2(beta)$, dopodiché valuta la funzione con tale valore, per cui ottiene $f(rho,beta)=1/2$ essendo costante non può tendere a zero.

Non capisco come questa scelta possa negare la definizione di limite uniforme rispetto a $beta$, che ora riporto
$lim_(rho to 0^+)f(rho,beta)=l in RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $delta=delta(epsilon)$ tale che per $beta in [0,2pi]$ si $|f(rho,beta)-l|
Per essere uniforme, $delta$ deve essere buono per ogni $beta$, ossia non deve dipendere da $beta$.
Dunque, non capisco come questa scelta possa mettere in relazione alla scelta del $delta$

Spero di essere stato chiaro, saluti

[Mephlip]

Non nega direttamente l'uniformità, bensì nega l'unicità del limite. Il limite, se esiste, è unico (vale anche in $\mathbb{R}^n$). Quindi, posto $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$, deve essere unico lungo il sostegno di ogni curva contenuta nel piano cartesiano passante per $(0,0)$. Dato che, ad esempio, sull'asse delle $x$ (ossia, per $y=0$), è $f(x,0)=0$, il suo limite per $x \to 0$ (che fa tendere un generico punto $(x,0)$ sull'asse delle $x$ verso l'origine) è $0$ e quindi, se esiste, deve essere $0$. Ma, dato che anche ogni generico punto $(x,x^2)$ della parabola di equazione $y=x^2$ tende a $(0,0)$ per $x \to 0$ ed $f(x,x^2)$ tende a $1/2$ per $x \to 0$ in quanto costante, il limite, non essendo unico, non può esistere.

Non è necessario passare in polari, in realtà. Forse l'autore voleva solo evidenziare il fatto che, anche se la funzione sotto il segno di limite espressa in coordinate polari tende a $0$ quando $\rho \to 0^+$ per ogni $\beta \in [0,2\pi[$, il limite può comunque non esistere. Infatti, tendere a $0$ per ogni $\beta \in [0,2\pi[$ significa solamente tendere a $0$ su ogni semiretta avente come origine l'origine del sistema di riferimento cartesiano; ciò non esaurisce tutte le possibili curve nel piano cartesiano passanti per l'origine del sistema di riferimento, infatti non considera il caso della parabola sopraccitata.

[compa90]

Ah ecco ! Grazie.

Ma se volessi provare a dimostrare direttamente questo fatto, cioè applicando la definizione, secondo te è una scelta saggia?

[Mephlip]

Prego! Saggio non direi. A parte come esercizio per iniziare a prendere dimestichezza con l'uniformità rispetto ad una variabile, non vedo profonde introspezioni. Poi, se non ricordo male, hai studiato le successioni di funzioni; quindi, lo hai già visto lì come ci si districa per dimostrare la non uniformità con la definizione o con caratterizzazioni equivalenti.

[compa90]

Dici di verificare che non avviene questo
$lim_(s to s_0)f(s,t)=l(t)$ uniformemente rispetto a $t in T$ se fissato $epsilon>0$ esiste $delta=delta(epsilon)>0$ tale che

$|f(s,t)-l(t)|

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[Mephlip]

Sì, esatto. Però esclusivamente con la funzione espressa in coordinate polari, perché è lì che hai il limite in una variabile.

[compa90]

Ciao, se ho capito, basta far vedere che non avviene questo $mbox{sup}_(beta in [0,2pi))|f(rho, beta)|to 0$ per $rho to 0$

Quindi, determino il l'estremo superiore della funzione espressa in coordinate polari con $beta$ che varia nell'intervallo $[0,2pi)$ e faccio vedere che non tende a zero quando $rho to 0$
Impongo che $beta ne pi/2+kpi$ con $k in ZZ$, dopodiché ho

$|f(rho, beta)|=|(rho\sin(beta)cos^2(beta))/(rho^2\cos^4(beta)+sin^2(beta))|le1/(rho\|cos(beta)|)$

Posto $L=1/(rho\|cos(beta)|)$, dalla relazione precedente $L$ è un maggiorante per la funzione $|f(rho, beta)|$, rimane da mostrare che per ogni $epsilon>0$ esiste un certo $bar{beta} in [0,2pi)$ e $bar{beta} ne pi/2+kpi$ con $k in ZZ$ risulta $L -epsilon<|f(rho,bar{beta})|$

Ho $1/(rhocos(beta))cos(beta)>1/(rho\epsilon) to bar{beta}=arccos(1/(rhoepsilon)) $

Mostrato che l'estremo superiore è $L$ si ha $L to + infty$ quando $rho to 0$

Può andare bene ?

[Mephlip]

Sì, è una condizione equivalente con quella dell'estremo superiore. Tuttavia, ci sono un po' di cose che non vanno.

(i) Stai cercando l'estremo superiore $L$ per $\beta \in [0,2\pi[$, quindi $L$ non può dipendere da $\beta$. Pensa, ad esempio, a voler trovare per ogni $x \in \mathbb{R}$ il $\text{sup}_{y \in [0,1]}(x+y)$. Esso è $x+1$. In generale, se hai $\text{sup}_{r \in A} g(r,s)$ esso (quando è finito) è una funzione solamente di $s$.

(ii) A parte il modulo in $|\cos \beta|$ che scompare in $\frac{1}{\rho \cos \beta}$ dopo che scrivi la disuguaglianza $L-\epsilon<|f(\rho,\bar{\beta})|$, non ti seguo nel risolvere per $\beta$ la disequazione $\frac{1}{\rho \cos \beta}<\epsilon$. Che fine ha fatto $|f(\rho,\bar{\beta})|$ al membro di destra?

(iii) Da $\frac{1}{\rho \cos \beta}<\epsilon$ deduci $\cos \beta>\frac{1}{\rho\epsilon}$, ma $\cos \beta$ non è sempre positivo in $[0,2\pi[$. Quindi, forse è lo stesso problema di prima e ti sei solo per un modulo e volevi scrivere $|\cos \beta|>\frac{1}{\rho \epsilon}$.

(iv) Supponendo che l'ultima parte scritta nel punto di prima sia l'interpretazione corretta, da $|\cos \beta|>\frac{1}{\rho\epsilon}$ arriveresti a $\left(\cos \beta>\frac{1}{\rho\epsilon}\right) \vee \left(\cos \beta <-\frac{1}{\rho \epsilon}\right)$. Sembra che tu, dalla prima di queste due ultime disequazioni, deduca $\bar{\beta}=\arccos \frac{1}{\rho\epsilon}$. Ma non puoi mica invertire il coseno con questa leggerezza: il coseno non si inverte dappertutto, devi vedere in che insieme si trova $\frac{1}{\rho \epsilon}$. Oltretutto, l'arcocoseno è decrescente e quindi inverte i versi delle disuguaglianze. Non so se hai tenuto conto di questa cosa, visto che dalla disuguaglianza passi direttamente ad esibire un $\bar{\beta}$. Insomma, non è mica sempre vero che $\arccos \cos \theta =\theta$; è vero solo se $\theta \in [0,\pi]$.

Insomma, mi sembra un po' troppo complicato rispetto al voler esibire due curve lunghi le quali il limite è diverso. Perché vuoi farlo così?

[compa90]

Hey, nella (i) ok, comunque volevi dire che è funzione di $r$. Nella (ii) si volevo prendere il modulo e mi sono dimenticato di riscriverlo inoltre, pure qui mi sono dimenticato di riscrivere $ |f(\rho,\bar{\beta})| $ non lo so perché ho fatto cosi...sarà il caldo
Infine (iv) qui non ho valutato questo aspetto..questo è grave..

Comunque, dalla luce di questi problemi, penso che questa strada porti solo a far perdere l'obiettivo di cui mi ero prefissato. Pertanto, con rammarico, perché non sono uno che si tira indietro, devo rinunciare a questa strategia e scegliere un'altra e cioè quelle delle due curve: $y=pm x^2$

Una domanda: Se supponiamo che ho una certa funzione che in un certo punto $(x_0,y_0)$ non ammette limite, però $f(rho, beta) to l$ per $rho to 0$, in tal caso devo trovare due curve passanti $(x_0,y_0)$ per cui venga meno il teorema dell'unicità del limite. Quindi, la domanda è: Se non le riesco a trovare le curve ?

[Mephlip]

"compa90": comunque volevi dire che è funzione di $r$

No, volevo dire quello che ho detto. Dato che sto facendo l'estremo superiore su $r \in A$ di $g(r,s)$, il risultato dovrà essere indipendente da $r$ e quindi dovrà essere una funzione solamente di $s$.

"compa90":Comunque, dalla luce di questi problemi, penso che questa strada porti solo a far perdere l'obiettivo di cui mi ero prefissato. Pertanto, con rammarico, perché non sono uno che si tira indietro, devo rinunciare a questa strategia e scegliere un'altra e cioè quelle delle due curve: $y=pm x^2$

Invece è importante capire quando bisogna lasciar stare, perché è anche imporante provare strade alternative e non fissarsi su una che, magari, è solo particolarmente inadatta ad attaccare un certo problema.

"compa90":Una domanda: Se supponiamo che ho una certa funzione che in un certo punto $(x_0,y_0)$ non ammette limite, però $f(rho, beta) to l$ per $rho to 0$, in tal caso devo trovare due curve passanti $(x_0,y_0)$ per cui venga meno il teorema dell'unicità del limite. Quindi, la domanda è: Se non le riesco a trovare le curve ?

Se non le riesci a trovare purtroppo brancoliamo nel buio. Potrebbero essercene due particolarmente inusuali lungo le quali hai due limiti diversi, oppure il limite potrebbe esistere e semplicemente non riesci a dimostrarlo. L'unica cosa che puoi dedurre è che, ottenuto un limite lungo una certa curva passante per $(x_0,y_0)$, se esiste il limite è quello che hai trovato lungo quella curva. Non puoi dedurre altro.

[compa90]

Sempre la prima: voglio dire l’estremo superiore lo determino in funzione di $r$,invece, il valore che esso assume è funzione di $r,s$, vedi pure l’esempio che hai fatto con $(x+y)$

Comunque grazie per i consigli