Problema con un limite con valore assoluto
Ciao a tutti ho un problema nel calcolare un limite, so che è una domanda stupida, ma non capisco bene come fare.
Mi viene chiesto di verificare che il gradiente della seguente funzione sia nullo.
Questa è la funzione in due variabili che ho
$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)(1-e^((x^2+y^2)/abs(x))) $
Ho calcolato $ (partial f)/(partial x) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(t,0)-f(0,0))/t $ e mi viene 0
Se calcolo $ (partial f)/(partial y) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(0,t)-f(0,0))/t $ incappo in un problema , ovvero ottengo
$ lim_(t -> 0) (abs(t)(1-e^(-t^2/abs(0))))/t $ ora, all'esponente mi viene un $ e^(-infty) $ che tende a 0 e mi rimane solo un $ lim_(t -> 0) abs(t)/t $ . Il problema è che dovrebbe venirmi 0.
Continuo a rifarlo e a ritrovarmi allo stesso punto, evidentemente mi sto dimenticando qualcosa ;/
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie
Mi viene chiesto di verificare che il gradiente della seguente funzione sia nullo.
Questa è la funzione in due variabili che ho
$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)(1-e^((x^2+y^2)/abs(x))) $
Ho calcolato $ (partial f)/(partial x) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(t,0)-f(0,0))/t $ e mi viene 0
Se calcolo $ (partial f)/(partial y) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(0,t)-f(0,0))/t $ incappo in un problema , ovvero ottengo
$ lim_(t -> 0) (abs(t)(1-e^(-t^2/abs(0))))/t $ ora, all'esponente mi viene un $ e^(-infty) $ che tende a 0 e mi rimane solo un $ lim_(t -> 0) abs(t)/t $ . Il problema è che dovrebbe venirmi 0.
Continuo a rifarlo e a ritrovarmi allo stesso punto, evidentemente mi sto dimenticando qualcosa ;/
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie
Risposte
Ci sono un po' di cose che non vanno. La prima è che $f$ non è definita nei punti con ascissa nulla, in quanto c'è $|x|$ al denominatore; perciò non so come hai fatto a calcolare $f(0,0)$.
Quindi o l'esercizio è mal scritto oppure non hai riportato l'esercizio completo (ossia che in realtà $f$ è definita anche nei punti aventi coordinate $(0,y)$).
La seconda è che non puoi andare al limite pezzi: non puoi mandare $1-e^{-\frac{t^2}{|t|}}$ al limite quando $t \to 0$ lasciando le altre $t$ presenti nella funzione, devi mandare tutte le quantità che dipendono da $t$ a $0$.
Infine, per sbarazzarti del valore assoluto devi ricordarti che i limiti, per esistere, devono coincidere da destra e da sinistra. Questo ti dà informazioni sul segno di $t$ e ti permette di discutere il valore assoluto.
Quindi o l'esercizio è mal scritto oppure non hai riportato l'esercizio completo (ossia che in realtà $f$ è definita anche nei punti aventi coordinate $(0,y)$).
La seconda è che non puoi andare al limite pezzi: non puoi mandare $1-e^{-\frac{t^2}{|t|}}$ al limite quando $t \to 0$ lasciando le altre $t$ presenti nella funzione, devi mandare tutte le quantità che dipendono da $t$ a $0$.
Infine, per sbarazzarti del valore assoluto devi ricordarti che i limiti, per esistere, devono coincidere da destra e da sinistra. Questo ti dà informazioni sul segno di $t$ e ti permette di discutere il valore assoluto.
Nell'esercizio ci veniva data una funzione e bisognava dimostrare che fosse continua nell'origine, allora ho calcolato il limite per (x,y) che tende a (0,0) e io, precedentemente sul foglio, ho dimostrato che tende a 0. (la funzione in (0,0) , nella traccia dell'esercizio, era definita come 0.
Pardon, non ho specificato la cosa.
Pardon, non ho specificato la cosa.
Però il punto è che a me era stato spiegato di calcolare così come ho scritto la derivata parziale e quindi di sostituire alla variabile x lo è e guardare il limite per t che tende a 0.
Alla fine mi riduco con un valore assoluto di t su t , il tutto con t che tende a 0...E non capisco come devo fare per togliermi da questa situazione, considerando anche il fatto che dovrebbe venirmi 0 (stando alle soluzioni)
Alla fine mi riduco con un valore assoluto di t su t , il tutto con t che tende a 0...E non capisco come devo fare per togliermi da questa situazione, considerando anche il fatto che dovrebbe venirmi 0 (stando alle soluzioni)
Continuano ad esserci problemi, perché anche definendo la funzione $0$ per $(x,y)=(0,0)$ essa continua a non essere definita in valori del tipo $(0,a)$ con $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$; infatti non so come hai calcolato $f(0,t)$ visto che ti si annulla il denominatore. Non è che $f$ è definita a $0$ per $x=0$ e basta e non per la coppia $(x,y)=(0,0)$?
Qui il problema non è analisi 2 o le derivate parziali con la definizione, non ha proprio senso la scrittura $e^{\frac{t^2}{|0|}}$; quando vedi una cosa del genere devi impallidire e digrignare i denti nevroticamente! Quella scrittura può avere senso (esteticamente orrendo) dopo che si passa al limite per capire qualitativamente cosa sta succedendo, ma non devi mai ottenere scritture senza senso tipo denominatori che si annullano, argomenti di logaritmi negativi (in $\mathbb{R}$), ecc. prima di passare al limite. Là stavi valutando la funzione in un punto e in quel punto la funzione deve essere definita.
Comunque, per toglierti il dubbio sul limite per $t \to 0$ di $\frac{|t|}{t}$, hai che un limite in una variabile esiste (e questo da analisi 1) se coincidono il limite destro e il limite sinistro; ossia se devi studiare
$$\lim_{t \to 0} \frac{|t|}{t}$$
Devi studiare i due limiti
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{|t|}{t}$$
$$\lim_{t \to 0^-} \frac{|t|}{t}$$
Ma ora hai informazioni sul segno di $t$ e quindi puoi dire qualcosa su $|t|$ (che poi è la stessa cosa che ti ho detto nell'altro messaggio).
Qui il problema non è analisi 2 o le derivate parziali con la definizione, non ha proprio senso la scrittura $e^{\frac{t^2}{|0|}}$; quando vedi una cosa del genere devi impallidire e digrignare i denti nevroticamente! Quella scrittura può avere senso (esteticamente orrendo) dopo che si passa al limite per capire qualitativamente cosa sta succedendo, ma non devi mai ottenere scritture senza senso tipo denominatori che si annullano, argomenti di logaritmi negativi (in $\mathbb{R}$), ecc. prima di passare al limite. Là stavi valutando la funzione in un punto e in quel punto la funzione deve essere definita.
Comunque, per toglierti il dubbio sul limite per $t \to 0$ di $\frac{|t|}{t}$, hai che un limite in una variabile esiste (e questo da analisi 1) se coincidono il limite destro e il limite sinistro; ossia se devi studiare
$$\lim_{t \to 0} \frac{|t|}{t}$$
Devi studiare i due limiti
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{|t|}{t}$$
$$\lim_{t \to 0^-} \frac{|t|}{t}$$
Ma ora hai informazioni sul segno di $t$ e quindi puoi dire qualcosa su $|t|$ (che poi è la stessa cosa che ti ho detto nell'altro messaggio).
Ciao vitunurpo,
Però non stai aiutando Mephlip (a proposito: congratulazioni per l'ingresso fra i senior members del forum...
) a toglierti da questa situazione...
Dato che $f(x,y) $ non è definita in $x = 0 $, non puoi calcolare quell'$f(0,0) $ che compare nell'espressione del limite, per cui dovresti avere qualcosa del tipo seguente:
$ f^{\star}(x, y) := \{(f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)(1-e^((x^2+y^2)/abs(x))) text{ per } (x,y) \ne (0,0)), (? text{ per } (x,y) = (0,0)):} $
Cosa c'è al posto del punto interrogativo?
"vitunurpo":
E non capisco come devo fare per togliermi da questa situazione
Però non stai aiutando Mephlip (a proposito: congratulazioni per l'ingresso fra i senior members del forum...
) a toglierti da questa situazione...Dato che $f(x,y) $ non è definita in $x = 0 $, non puoi calcolare quell'$f(0,0) $ che compare nell'espressione del limite, per cui dovresti avere qualcosa del tipo seguente:
$ f^{\star}(x, y) := \{(f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)(1-e^((x^2+y^2)/abs(x))) text{ per } (x,y) \ne (0,0)), (? text{ per } (x,y) = (0,0)):} $
Cosa c'è al posto del punto interrogativo?
@pilloeffe
[ot]Grazie, ora si punta ai 3000! Sei sempre gentile
[/ot]
[ot]Grazie, ora si punta ai 3000! Sei sempre gentile
[/ot]
Al posto del punto interrogativo c'è uno 0 
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