Problema con un limite

[Vito L]

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con un limite...

Allora $lim_(x->0)((x-ln(e^x-1))/(sinx-x))$..all'apparenza mi sembrava facile, ma poi non potendo applicare infinitesimi equivalenti sugli addendi ho provato ad applicare Taylor e questo è stato il risoltato...$lim_(x->0)((x-ln(x+o(x)))/((-x^3/6)+o(x^4)))$

Ora il risultato di questo limite è ancora una forma indeterminata...la mia domanda è come procedere? Conoscete qualche trucchetto da applicare ? O non va proprio bene tutto il procedimento?

Grazie mille

Vito L

[Gi81]

Non devi applicare Taylor, perché non ci sono forme indeterminate.
Nel limite iniziale, a quanto tende il numeratore? A quanto il denominatore?

[Vito L]

"Gi8":Non devi applicare Taylor, perché non ci sono forme indeterminate.
Nel limite iniziale, a quanto tende il numeratore? A quanto il denominatore?

Ciao Gi8! Allora, Il limite iniziale è il primo che ho scritto e mi sembra si presenti nella forma $\[0/0]$

[Gi81]

E' proprio questo che ti contesto. Guarda meglio il numeratore

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@Vito L: Vorrei ricordarti questo avviso, ultimo punto:

- Infine, quando vi arriva un suggerimento (e non la soluzione completa che sperate), riflettete bene su ciò che vi è stato risposto prima di tornare a postare.[/xdom]

[Vito L]

"gugo82":[xdom="gugo82"]@Vito L: Vorrei ricordarti questo avviso, ultimo punto:

- Infine, quando vi arriva un suggerimento (e non la soluzione completa che sperate), riflettete bene su ciò che vi è stato risposto prima di tornare a postare.[/xdom]

"Gi8":E' proprio questo che ti contesto. Guarda meglio il numeratore

scusate davvero ma mi sono un attimo confuso..allora il numeratore dovrebbe tendere $\+infty$ mentre il denominatore a$0$ quindi penso che una possibile soluzione sarebbe fare $\lim_(x->0) (x-ln(e^x-1))*(1/(sinx-x))$

e quindi il limite tenderebbe a $\+infty$...giusto?

[Gi81]

"Vito L":... il numeratore dovrebbe tendere $\+infty$...

Esatto.

"Vito L": mentre il denominatore a$0$

Domanda: il denominatore tende a $0^+$ oppure $0^-$?
E' fondamentale capirlo

[Vito L]

Allora penso che per $\x->0^+$ il denominatore tenda a $\0^+$ mentre per $\x->0^-$ il denominatore tenda a $\0^-$ ma non ci metterei la mano sul fuoco perchè sono quasi sicuro che $\sinx$ tenda a $\0^+$ per $\x->0^+$ mentre tenda a $\0^-$ per $\x->0^-$ ma non sono per niente sicuro che $\(0^+)-(0^+)$ sia $\0^+$ e $(0^-)-(0^-)$ sia $0^-$..

[Gi81]

Il caso $x->0^-$ non va preso in considerazione (perché?)
Se $x->0^+$ allora $x>0$, dunque $sin(x)-x<0$

Infatti puoi dimostrare che la funzione $g(x)=sin(x)-x$ è tale che
${(g(x)>0 \quad x<0),(g(x)=0 \quad x=0),(g(x)<0 \quad x>0):}$
(basta notare che $g'(x)=cos(x)-1$, dunque la funzione è decrescente)

Pertanto $lim_(x->0^+) (sin(x)-x)= 0^-$

[Vito L]

"Gi8":Il caso $x->0^-$ non va preso in considerazione (perché?)
Se $x->0^+$ allora $x>0$, dunque $sin(x)-x<0$

Infatti puoi dimostrare che la funzione $g(x)=sin(x)-x$ è tale che
${(g(x)>0 \quad x<0),(g(x)=0 \quad x=0),(g(x)<0 \quad x>0):}$
(basta notare che $g'(x)=cos(x)-1$, dunque la funzione è decrescente)

Pertanto $lim_(x->0^+) (sin(x)-x)= 0^-$

Grazie Gi8 mi hai illuminato! ora però perchè il caso $x->0^-$ non va preso in considerazione? Non avrei a quel punto $x<0$, dunque $sin(x)-x>0$ dunque $lim_(x->0^-) (sin(x)-x)= 0^+$?

Anche perchè su Wolphram mi da tt e due i casi!

[Gi81]

Beh, veramente l'avevo chiesto io a te il perché.
Non voglio dirtelo, vorrei che tu ci arrivassi da solo.

Aiutino: quanto fa $lim_(x->0^-) log(x)$?

[Vito L]

"Gi8":Beh, veramente l'avevo chiesto io a te il perché.
Non voglio dirtelo, vorrei che tu ci arrivassi da solo.

Aiutino: quanto fa $lim_(x->0^-) log(x)$?

Ma certo! penso di aver capito Gi8 Credo che per $\x->0^-$ avremmo problemi con $\ln(e^x-1)$ che diventerebbe $\ln(0^-)$
che però non è definito
Grazie mille Gi8 sei stato davvero indispensabile!

[Gi81]

Tutto corretto. Felice di esserti stato d'aiuto
Buona continuazione!