Problema con un limite
\(\displaystyle \lim \)
\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
di
\(\displaystyle \frac{ln(1-2x^3)}{1-e^xcosx + senx} \)
io che ancora non sono così pratico nello sviluppo di taylor, come faccio a capire fino a che grado arrivare? ad esempio il logaritmo con lo sviluppo arriva minimo a un \(\displaystyle o(x^3) \), quindi anche al denominatore devo fare in modo che ci sia \(\displaystyle o(x^3) \)? l'esponenziale e il coseno sono moltiplicati quindi magari sviluppo l'esponenziale fino al grado \(\displaystyle n=3 \) e il coseno invece al grado \(\displaystyle n=0? \), tipo \(\displaystyle 1 + o(x) ???\) e il seno lo scrivo così: \(\displaystyle x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \) Grazie.
\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
di
\(\displaystyle \frac{ln(1-2x^3)}{1-e^xcosx + senx} \)
io che ancora non sono così pratico nello sviluppo di taylor, come faccio a capire fino a che grado arrivare? ad esempio il logaritmo con lo sviluppo arriva minimo a un \(\displaystyle o(x^3) \), quindi anche al denominatore devo fare in modo che ci sia \(\displaystyle o(x^3) \)? l'esponenziale e il coseno sono moltiplicati quindi magari sviluppo l'esponenziale fino al grado \(\displaystyle n=3 \) e il coseno invece al grado \(\displaystyle n=0? \), tipo \(\displaystyle 1 + o(x) ???\) e il seno lo scrivo così: \(\displaystyle x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \) Grazie.
Risposte
PS ma con Latex come si fa a scrivere "qualcosa elevato a 2x" perchè finchè all'esponente c'è solo una cosa ci riesco, ma quando ce ne è più di una, questa non viene elevata!
in Latex si scrive ad esempio $e^(2x)$ in questo modo: e^(2x). In latex esistono anche già i simboli tra cui quello di limite. Per quanto riguarda il limite secondo me la strada migliore è Taylor perchè ti semplifica molto il limite (infatti si riduce a rapporto di polinomi).
se scrivo questo e^(2x) a me viene: \(\displaystyle e^(2x) \)!
Parentesi graffe, non tonde.
"davidedesantis":
e il coseno invece al grado \(\displaystyle n=0? \), tipo \(\displaystyle 1 + o(x) ???\)
Non penso che basti...
però sviluppando di più poi a causa della moltiplicazione escono termini \(\displaystyle x^5 \) oppure \(\displaystyle o(x^6) \)....mentre al numeratore ho invece \(\displaystyle o(x^3) \)...come bisogna fare?
$1 - e^x * cos(x) + sin(x) = 1 - (1 + x + x^2/2 + x^3/6 + o(x^3)) * ( 1 - x^2/2 + o(x^3) ) + x - x^3/6 + o(x^3)$
Così sei sicuro che il denominatore sarà della forma $P(x) + o(x^3)$.
Così sei sicuro che il denominatore sarà della forma $P(x) + o(x^3)$.
ti posso chiedere se posso evitare di scrivere i risultati della moltiplicazione che hanno come esponente un numero maggiore di \(\displaystyle 3 \)? non sono sicuro se si possa fare...grazie per la pazienza! 
Si può fare... Il motivo è che nello sviluppo compaiono $o(x^3)$ che "contengono" tutte le potenze con esponente $>3$.
Sono due volte che ricontrollo tutto, ma mi viene così alla fine:
\(\displaystyle \frac{-2x^3 + o(x^3)}{x^3 - 2x + o(x^3)} \) = ? quel \(\displaystyle -2x \) viene da \(\displaystyle -x -x \) dopo la moltiplicazione e il cambio del segno...
\(\displaystyle \frac{-2x^3 + o(x^3)}{x^3 - 2x + o(x^3)} \) = ? quel \(\displaystyle -2x \) viene da \(\displaystyle -x -x \) dopo la moltiplicazione e il cambio del segno...
Non è $- x + x$ ?
il problema è che c'è quel \(\displaystyle - \) davanti la parentesi e \(\displaystyle +x \) viene trasformato in \(\displaystyle -x \) e alla fine dell'espressione c'è un altro \(\displaystyle -x \)...
"davidedesantis":
alla fine dell'espressione c'è un altro \(\displaystyle -x \)...
Scusami eh, non è $+x$? Viene dallo sviluppo di $+ sin(x)$...
sisisi te lo stavo per scrivere...scusami!!! purtroppo mi capita ancora di fare questi errori...però grazie a te i limti con taylor mi sono più chiari...quindi il risultato è \(\displaystyle -\frac{1}{3} \)
"davidedesantis":
\(\displaystyle \frac{-2x^3 + o(x^3)}{x^3 - 2x + o(x^3)} \) = ? quel \(\displaystyle -2x \) viene da \(\displaystyle -x -x \) dopo la moltiplicazione e il cambio del segno...
Appurato che il $-2x$ sparisce, non dovrebbe venire $-2$ quel limite, dai calcoli che hai fatto?
esatto!
$- 1/3$ da dove salta fuori?
non so perchè ma al denominatore avevo \(\displaystyle -\frac{x^3}{6} \)
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