Problema con un limite.
Ho un problema con un limite che devo risolvere usando i limiti notevoli come richiesto dall'esercizio.
Il limite è questo: $ lim_(x -> 1) [ln (2-x)]/[e^{x^{2}-1} -1] $
Potete aiutarmi?
Io riesco a risolvere la parte al denominatore ma poi non riesco a sbrogliare l'argomento del logaritmo e mi blocco.
Il limite è questo: $ lim_(x -> 1) [ln (2-x)]/[e^{x^{2}-1} -1] $
Potete aiutarmi?
Io riesco a risolvere la parte al denominatore ma poi non riesco a sbrogliare l'argomento del logaritmo e mi blocco.
Risposte
magari dico una bischerata, ma il limite non fa semplicemente 0? è $0/(e^-1)$ quindi $0*e=0$
I limiti notevoli da utilizzare sono :
$ lim_(x ->0)(e^{x} -1 )/ x =1 $ e $ lim_(x -> 0)ln (1+x) / x =1 $ nel seguente modo:
moltiplico e divido per $x^2-1$
$ lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) = lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) * (x^2-1)/(x^2-1)$ in questo modo $ (x^2-1)/( e^(x^2-1)-1) ->1 $ per $x->1$ e osserviamo che $ln (2-x)$ lo posso riscrivere così: $ln (1+(1-x))$ e che $(x^2-1)=-(1+x)(1-x)$ quindi riscrivendo tutto ho che:
$ lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) = lim_(x -> 1)(x^2-1) /( e^(x^2-1)-1) * ln (1+(1-x))/(-(1+x)(1-x))=-1/2$ dato che $ln (1+(1-x))/(1-x)= 1 $per $x->1$
$ lim_(x ->0)(e^{x} -1 )/ x =1 $ e $ lim_(x -> 0)ln (1+x) / x =1 $ nel seguente modo:
moltiplico e divido per $x^2-1$
$ lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) = lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) * (x^2-1)/(x^2-1)$ in questo modo $ (x^2-1)/( e^(x^2-1)-1) ->1 $ per $x->1$ e osserviamo che $ln (2-x)$ lo posso riscrivere così: $ln (1+(1-x))$ e che $(x^2-1)=-(1+x)(1-x)$ quindi riscrivendo tutto ho che:
$ lim_(x -> 1)ln (2-x) /( e^(x^2-1)-1) = lim_(x -> 1)(x^2-1) /( e^(x^2-1)-1) * ln (1+(1-x))/(-(1+x)(1-x))=-1/2$ dato che $ln (1+(1-x))/(1-x)= 1 $per $x->1$
Dunque i limiti notevoli sono gli stessi che cercavo di utilizzare io solo che non capisco come fai ad usarli perchè valgono solo per $ x -> 0 $ .
Invece tu mi hai scritto proprio precisandolo che $ [(x)^(2) -1]/[e^{(x)^(2) -1} -1] $ per $ x -> 1 $
Potresti chiarirmi meglio il passaggio?
Invece tu mi hai scritto proprio precisandolo che $ [(x)^(2) -1]/[e^{(x)^(2) -1} -1] $ per $ x -> 1 $
Potresti chiarirmi meglio il passaggio?
Nel tuo caso è proprio l'avvicinarsi della funzione a 1 che ti fa tendere la stessa a zero,non confonderti.I limiti notevoli valgono per qualsiasi quantità che l'avvicina a zero.Nel tuo caso è 1,poteva essere anche un valore qualsiasi.
"Stevie":
Dunque i limiti notevoli sono gli stessi che cercavo di utilizzare io solo che non capisco come fai ad usarli perchè valgono solo per $ x -> 0 $.
Basta fare il semplice cambiamento di variabili [tex]$y=x-1$[/tex] nel tuo limite originario.
Prova...
gugo82 ho provato a svolgerlo come mi hai proposto tu ma non sono riuscito comunque a risolverlo. Ti scrivo i miei passaggi.
$ lim_x -> 1 [ln (2-x)]/[e^{(x)^(2) -1} -1] $ Pongo t=x-1 e quindi t-->0 e x=t+1
Sostituendo la t con la x quindi ottengo: $ lim_(t -> 0) [ln (1-t)]/[e^{t(t+2)} -1] $
Dopodiche ho provato vari accorgimenti come moltiplicare e dividere ma non riesco ad ottenere tutti e 2 i limiti notevoli. Al massimo 1 dei 2 ma poi non riesco a risolvere l'altro.
$ lim_x -> 1 [ln (2-x)]/[e^{(x)^(2) -1} -1] $ Pongo t=x-1 e quindi t-->0 e x=t+1
Sostituendo la t con la x quindi ottengo: $ lim_(t -> 0) [ln (1-t)]/[e^{t(t+2)} -1] $
Dopodiche ho provato vari accorgimenti come moltiplicare e dividere ma non riesco ad ottenere tutti e 2 i limiti notevoli. Al massimo 1 dei 2 ma poi non riesco a risolvere l'altro.
Nota che [tex]$\frac{\ln (1-t)}{e^{t(t+2)}-1}=\frac{\ln (1-t)}{t}\ \frac{t}{t(t+2)}\ \frac{t(t+2)}{e^{t(t+2)}-1}$[/tex]...
Forse sto per dire una cosa stupida comunque il limite notevole è $ lim_(x -> 0) ln (1+x)/x $ e invece qua c'è il meno $ lim_(t -> 0) ln (1-t)/t $
Va bene lo stesso o crea qualche problema?
Va bene lo stesso o crea qualche problema?
Metti un meno a denominatore e cambi di nuovo la variabile se ti piace di più.
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