Problema con un limite

[tall99]

salve a tutti sono nuovo del forum
allora ho questo problema

lim (sin(ax^2) - x^2) / (x^2 * [cos(2x) - e^(-2x)])
x=>0

bisogna verificare a che tende il limite a seconda del variare di a,usando landau
se potete scrivermi tutti i passaggi mi fate un favore
grazie a tutti
provo anche nel vostro sistema

$lim_(x->0)frac{text{sin}(ax^2)-x^2}{x^2(text{cos}(2x)-e^-(2x^2))}$

[tall99]

vi prego è urgente ho un esame fra poco

[alle.fabbri]

Ricordando le espansioni

$sin t = sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^(2k+1) + o(x^(2(n+1)+1))$
$cos t = sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^(2k) + o(x^(2(n+1)))$
$e^t = sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^k + o(x^(n+1))$

otteniamo

$lim_{x->0} \frac{a x^2 - \frac{(a x^2)^3}{3!} + o((ax^2)^5) - x^2}{x^2 (1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{4!} + o(x^6) - 1 + 2 x^2 - \frac{(2x^2)^2}{2} + o(x^6)))$
$lim_{x->0} \frac{(a-1) x^2 - \frac{a^3}{6}x^6 + o(x^10)}{x^2 (\frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x^2)^2}{2} + o(x^6)))$
$lim_{x->0} \frac{x^2 ((a-1) - \frac{a^3}{6}x^4 + o(x^8))}{x^2 (\frac{2}{3}x^4 - 2x^4 + o(x^6)))$
$lim_{x->0} \frac{(a-1) - \frac{a^3}{6}x^4 + o(x^8)}{ - \frac{4}{3} x^4 + o(x^6)$
$lim_{x->0} \frac{a-1}{ x^4 (- \frac{5}{3} + o(x^2))} + \frac{- \frac{a^3}{6}x^4 + o(x^8)}{ x^4 (- \frac{4}{3} + o(x^2))$
$lim_{x->0} \frac{a-1}{ x^4 (- \frac{5}{3} + o(x^2))} + \frac{x^4(- \frac{a^3}{6} + o(x^4))}{ x^4 (- \frac{4}{3} + o(x^2))$
$lim_{x->0} \frac{a-1}{ x^4 (- \frac{5}{3} + o(x^2))} + \frac{- \frac{a^3}{6} + o(x^4)}{- \frac{4}{3} + o(x^2)}$

e quindi, se ho fatto tutto bene, il primo termine diverge per $a!=1$, mentre per a=1 ho che lim = 1/8