Problema con un limite

[korkey]

Salve ragazzi ho un problema con questo limite:

$lim_{x->+oo} e^x-x$ che si presenta come forma indeter. $+oo-oo$

Come risolverlo??

[Luca.Lussardi]

Prova a raccogliere $e^x$, dovrebbe essere utile poi per un confronto potenza/esponenziale.

[korkey]

"Luca.Lussardi":Prova a raccogliere $e^x$, dovrebbe essere utile poi per un confronto potenza/esponenziale.

Grazie per il suggerimento!!
Quindi dovrebbe essere così:

$lim_{x->+oo} e^x-x$

$lim_{x->+oo} e^x(1-(x/e^x))$

$lim_{x->+oo} (1-(x/e^x))/(1/e^x)$ regola De L'Hôpital, ed ho:

$lim_{x->+oo} ((-e^x+xe^x)/(e^x)^2)/(-1/(e^x)^2)$ semplifico: $lim_{x->+oo} -e^x+xe^x$

$lim_{x->+oo} e^x(-1+x)$ $lim_{x->+oo} (-1+x)/(1/e^x)$ $lim_{x->+oo} (+oo)/(1/+oo)=+oo$

Giusto??

[TomSawyer1]

Io mi fermerei qui $\lim_{x \to +\infty} e^x(1-x/e^x)$, perché la parentesi tende a $1$ e $e^x$ ad infinito.

[korkey]

"TomSawyer":Io mi fermerei qui $\lim_{x \to +\infty} e^x(1-x/e^x)$, perché la parentesi tende a $1$ e $e^x$ ad infinito.

Mi potresti spiegare, gentilmente, come $1-x/e^x$ tende ad $1$?
Non dovrebbe essere una forma indeterm.

[TomSawyer1]

Per il fatto che $lim_{x\to+\infty} x^n/e^x=0$, per $n>1$. Poi se tu non ti vuoi avvalere di nessuna proprieta' del genere, e' un altro discorso.

[korkey]

"TomSawyer":Per il fatto che $lim_{x\to+\infty} x^n/e^x=0$, per $n>1$. Poi se tu non ti vuoi avvalere di nessuna proprieta' del genere, e' un altro discorso.

Grazie per la risposta!
Il fatto è che non conosco questa proprietà, di che si tratta?
Potresti spiegarmela sinteticamente?

Cmq per chiarezza il metodo usato da me all'inizio, era solo più lungo o era anche sbagliato??

[TomSawyer1]

Quella la dimostri facilmente applicando il Teorema di De L'Hopital.

Precisazione: $n$ è arbitrario. Volevo sottolineare che può essere arbitrariamente grande, in quel limite.

[Steven11]

Si tratta di confrontare gli ordini: tu hai una potenza che è divisa da un esponenziale, e l'esponenziale è più forte.
Detta in soldoni, al crescere di x, la potenza $x^n$ (con n grande a piacere) corre all'infinito, e anche la funzione esponenziale $e^x$ corre all'infinito, ma corre più veloce. Pertanto, al crescere di x, il denominatore diventa sempre più grande del numeratore, e il rapporto tende a 0.
Ciao