Problema con un limite
Salve a tutti, è da un paio di giorni che cerco di risolvere un limite ma arrivo ad un certo punto e poi non riesco a proseguire.
il limite è: $ limx->0^+ ln((tan x)/x)^(1/x^2) $
ho provato a risolverlo derivando due volte numeratore e denominatore dopo che ho portato il limite come rapporto tral il ln e x^2, cosi facendo ho portato fuori dal segno di limite 1/2 e mi è rimasto da calcolare il lim di $ 1/x^2-csc^2(x)+sec^2(x) $ ma da qui non riesco a proseguire.
Ringrazio in anticipo per gli eventuali chiarimenti e spiegazioni
ho visto che utilizzando gli sviluppi in serie per la cosecante e la secante si riesce a risolverlo, però vorrei sapere come risolverlo senza utilizzare gli sviluppi.
il limite è: $ limx->0^+ ln((tan x)/x)^(1/x^2) $
ho provato a risolverlo derivando due volte numeratore e denominatore dopo che ho portato il limite come rapporto tral il ln e x^2, cosi facendo ho portato fuori dal segno di limite 1/2 e mi è rimasto da calcolare il lim di $ 1/x^2-csc^2(x)+sec^2(x) $ ma da qui non riesco a proseguire.
Ringrazio in anticipo per gli eventuali chiarimenti e spiegazioni
ho visto che utilizzando gli sviluppi in serie per la cosecante e la secante si riesce a risolverlo, però vorrei sapere come risolverlo senza utilizzare gli sviluppi.
Risposte
Non capisco che intendi con "ho derivato numeratore e denominatore", perché non c'è nessuna frazione !
Inoltre, se ricordo bene, $[0^\infty]$ non è una "forma di indecisione" e il tuo limite tende a 0.
Ho provato lo stesso a svolgerlo, riscrivendo la funzione nell'argomento del limite come
$log(\frac{tan(x)}{x})^(\frac{1}{x^2})=e^(-log(log(\frac{tan(x)}{x}))log(x^2))$
E per $x->0^+$ mi da 0
Spero di non essermi sbagliato
Inoltre, se ricordo bene, $[0^\infty]$ non è una "forma di indecisione" e il tuo limite tende a 0.
Ho provato lo stesso a svolgerlo, riscrivendo la funzione nell'argomento del limite come
$log(\frac{tan(x)}{x})^(\frac{1}{x^2})=e^(-log(log(\frac{tan(x)}{x}))log(x^2))$
E per $x->0^+$ mi da 0
Spero di non essermi sbagliato
l'esponente dell'argomento del logaritmo lo posso vedere come un fattore che moltiplica il logaritmo perciò ottengo:
$ ln(tan(x)/x)/x^2 $
$ ln(tan(x)/x)/x^2 $
Ciao danielem,
Se ho capito bene il limite proposto è il seguente:
$ lim_{x \to 0^+} ln((tan x)/x)^(1/x^2) = lim_{x \to 0^+} \frac{ln((tan x)/x)}{x^2} \overset{H}{=} ... = 1/3 $
ove con $H$ si intende che si è applicato de l'Hôspital.
Se ho capito bene il limite proposto è il seguente:
$ lim_{x \to 0^+} ln((tan x)/x)^(1/x^2) = lim_{x \to 0^+} \frac{ln((tan x)/x)}{x^2} \overset{H}{=} ... = 1/3 $
ove con $H$ si intende che si è applicato de l'Hôspital.
"Cantor99":
Ho provato lo stesso a svolgerlo, riscrivendo la funzione nell'argomento del limite come
$log(\frac{tan(x)}{x})^(\frac{1}{x^2})=e^(-log(log(\frac{tan(x)}{x}))log(x^2))$
E per $x->0^+$ mi da 0
La corretta forma è
$e^(log(\frac{tan(x)}{x})^(\frac{1}{x^2}))=e^(\frac{log(log(\frac{tan(x)}{x}))}{x^2}$ che continua a darmi 0, dove sbaglio?
Scusate ma a voi non sembra che sia molto più semplice di come lo state ponendo?
intendo dire che il limite all'interno del logaritmo naturale tende a 1 quindi il logaritmo tende a 0
e questo ci porta alla forma $0^oo$ che è uguale a $0$ (come ha giustamente fatto notare Cantor99 non si tratta di una forma indeterminata)
intendo dire che il limite all'interno del logaritmo naturale tende a 1 quindi il logaritmo tende a 0
e questo ci porta alla forma $0^oo$ che è uguale a $0$ (come ha giustamente fatto notare Cantor99 non si tratta di una forma indeterminata)
Si piloeffe, il risultato del limite è 1/3, lo si può verificare semplicemente osservando il grafico della funzione che per x=0 non esiste ma presenta il valore limite (discontinuità di terza specie). L'ho risolto utilizzando gli sviluppi in serie dopo aver applicato de l'hopital, ma volevo sapere come risolverlo diversamente.
@danielem forse ho capito il problema che abbiamo io e @Summerwind78: abbiamo inteso che $\frac{1}{x^2}$ sia l'esponente di tutto il logaritmo. Se invece è l'esponente dell'argomento allora sì fa $\frac{1}{3}$ altrimenti è 0, come dicevamo
"Cantor99":
@danielem forse ho capito il problema che abbiamo io e @Summerwind78: abbiamo inteso che $\frac{1}{x^2}$ sia l'esponente di tutto il logaritmo. Se invece è l'esponente dell'argomento allora sì fa $\frac{1}{3}$ altrimenti è 0, come dicevamo
Caspita non ci avevo pensato, in effetti io ho interpretato l'esponente come se fosse di tutto
Si è così, però mi rimane il problema, volevo risolverlo in modo diverso, e forse la strada l'ho trovata, utilizzando delle posizioni, cioè: t=tan(x) da cui x=arctan(t). Cosi il limite mi diventa più semplice da risolvere impiegando de l'hopital a numeratore e a denominatore. Ho verificato con il risolutore e la posizione risulta giusta, ma probabilmente commetto degli errori durante i passaggi matematici (che in realtà non risultano complicati). Sarà la stanchezza!! Se qualcuno di voi ci riesce mi farebbe piacere vedere come. Grazie a tutti.
@danielem posso proporti un metodo meno calcoloso?
L'usuale limite notevole $lim_(f(x)->0)\frac{logf(x)+1}{f(x)}=1$ si può riscrivere come $lim_(f(x)->1)\frac{logf(x)}{f(x)-1}=1$.
Quindi
$lim_(x->0^+) \frac{log(\frac{tan(x)}{x})}{x^2}=lim_(x->0^+) \frac{log(\frac{tan(x)}{x})}{\frac{tan(x)}{x}-1}*\frac{tan(x)-x}{x^3}=lim_(x->0^+) \frac{tan(x)-x}{x^3}$
Questo limite è molto più agevole da trattare con de l'Hopital. Ti basta applicarlo una volta e usare il limite notevole del coseno
L'usuale limite notevole $lim_(f(x)->0)\frac{logf(x)+1}{f(x)}=1$ si può riscrivere come $lim_(f(x)->1)\frac{logf(x)}{f(x)-1}=1$.
Quindi
$lim_(x->0^+) \frac{log(\frac{tan(x)}{x})}{x^2}=lim_(x->0^+) \frac{log(\frac{tan(x)}{x})}{\frac{tan(x)}{x}-1}*\frac{tan(x)-x}{x^3}=lim_(x->0^+) \frac{tan(x)-x}{x^3}$
Questo limite è molto più agevole da trattare con de l'Hopital. Ti basta applicarlo una volta e usare il limite notevole del coseno
Ti dirò di più, anche senza de l'Hôspital:
$ lim_{x \to 0^+} ln((tan x)/x)^(1/x^2) = lim_{x \to 0^+} \frac{ln((tan x)/x)}{x^2} = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{(sin x)/(x cos x) - 1}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{1/cos x ((sin x)/x - cos x)}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{1/cos x ((sin x)/x - 1 + 1 - cos x)}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot 1/cos x [\frac{sin x - x}{x^3} + frac{1 - cos x}{x^2}] = $
$ = 1 cdot frac{1}{1}[ - 1/6 + 1/2] = 1/3 $
dato che si può dimostrare che $lim_{x \to 0^+}\frac{sin x - x}{x^3} = -1/6 $, come si può vedere ad esempio qui.
$ lim_{x \to 0^+} ln((tan x)/x)^(1/x^2) = lim_{x \to 0^+} \frac{ln((tan x)/x)}{x^2} = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{(sin x)/(x cos x) - 1}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{1/cos x ((sin x)/x - cos x)}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot \frac{1/cos x ((sin x)/x - 1 + 1 - cos x)}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0^+} \frac{ln[1 + ((sin x)/(x cos x) - 1)]}{(sin x)/(x cos x) - 1} \cdot 1/cos x [\frac{sin x - x}{x^3} + frac{1 - cos x}{x^2}] = $
$ = 1 cdot frac{1}{1}[ - 1/6 + 1/2] = 1/3 $
dato che si può dimostrare che $lim_{x \to 0^+}\frac{sin x - x}{x^3} = -1/6 $, come si può vedere ad esempio qui.
Ringrazio Cantor99 e pilloeffe per la loro disponibilità.
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