Problema con un integrale indefinito (logaritmo di 0)
Ciao,
Stavo leggendo dei miei vecchi appunti e stavo cercando di capire un passaggio che all'epoca era semplice ma ora a distanza di anni non riesco più a comprendere.
$ int_(0)^(N) 1/N+1/(L-N) dN=ln(N)-ln(L-N) $
Il logaritmo di 0 non é un caso di indeterminazione? Come si risolve questo caso di indeterminazione?
Qualcuno mi saprebbe anche dimostrare la seguente proprietà (alle superiori la sapevo bene questa dimostrazione ma ora me la sono scordata)?
$ ln(N)-ln(L-N)=-ln((L-N)/N) $
P.S.:Ero fortissimo in matematica ma ora non valgo più nulla... che depressione...
Ciao e grazie
Stavo leggendo dei miei vecchi appunti e stavo cercando di capire un passaggio che all'epoca era semplice ma ora a distanza di anni non riesco più a comprendere.
$ int_(0)^(N) 1/N+1/(L-N) dN=ln(N)-ln(L-N) $
Il logaritmo di 0 non é un caso di indeterminazione? Come si risolve questo caso di indeterminazione?
Qualcuno mi saprebbe anche dimostrare la seguente proprietà (alle superiori la sapevo bene questa dimostrazione ma ora me la sono scordata)?
$ ln(N)-ln(L-N)=-ln((L-N)/N) $
P.S.:Ero fortissimo in matematica ma ora non valgo più nulla... che depressione...
Ciao e grazie
Risposte
Allora: $ ln(N) - ln (L-N) = ln (N/(L-N))$
per N=0
devi fare $ lim N->0 $di $ (N/(L-N)) $ utilizzando il teorema di de l'Hopital
hai $ lim N->0 $di $ (N/(L-N)) $ -> $ lim N->0 $di $ (dN/(d(L-N))) = -1$
->>> Come risultato ottieni $ln( N/(L-N)) - ln (-1)$ = $ ln (-N/(L-N)) = ln (N/(N-L)))$
naturalmente deve essere N>L
per N=0
devi fare $ lim N->0 $di $ (N/(L-N)) $ utilizzando il teorema di de l'Hopital
hai $ lim N->0 $di $ (N/(L-N)) $ -> $ lim N->0 $di $ (dN/(d(L-N))) = -1$
->>> Come risultato ottieni $ln( N/(L-N)) - ln (-1)$ = $ ln (-N/(L-N)) = ln (N/(N-L)))$
naturalmente deve essere N>L
Per il secondo quesito:
$ ln(N) - ln (L-N) = ln (N/(L-N)) = ln (1/ ((L-N)/N)) = ln 1 - ln(((L-N)/N) = - ln(((L-N)/N) ) $
ciao
$ ln(N) - ln (L-N) = ln (N/(L-N)) = ln (1/ ((L-N)/N)) = ln 1 - ln(((L-N)/N) = - ln(((L-N)/N) ) $
ciao
@raimond
Applichi il teorema di De L'Hopital, ma quel limite non è un'indeterminazione del tipo [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] o [tex]\frac{0}{0}[/tex].
Tra l'altro [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty[/tex] e non è un'indeterminazione.
Io tenterei di capire se, in base alle regole di convergenza degli integrali impropri, quell'integrale converge.
Applichi il teorema di De L'Hopital, ma quel limite non è un'indeterminazione del tipo [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] o [tex]\frac{0}{0}[/tex].
Tra l'altro [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty[/tex] e non è un'indeterminazione.
Io tenterei di capire se, in base alle regole di convergenza degli integrali impropri, quell'integrale converge.
K.Lomax ha ragione ma non mi ricordo più nulla di analisi, come posso fare?
Grazie
Grazie
La soluzione dell'integrale é corretta quindi l'integrale converge... se scrivo il limite non riesco ad approdare da nessuna parte...
$ lim_(s -> 0) ln(s/(L-s))-ln(N/(L-N)) $
come si risolve questo limite?
$ lim_(s -> 0) ln(s/(L-s))-ln(N/(L-N)) $
come si risolve questo limite?
"raimond":
Per il secondo quesito:
$ ln(N) - ln (L-N) = ln (N/(L-N)) = ln (1/ ((L-N)/N)) = ln 1 - ln(((L-N)/N) = - ln(((L-N)/N) ) $
ciao
hehehe... be questo é ovvio... io intendevo la dimostrazione del poter operare in questo modo con i logaritmi ma non é essenziale in questo momento... mi preme maggiormente capire come risolvere questo integrale che non é per nulla semplice...
Non credo di poter applicare Hopital sulla frazione perché essa non é un caso di indeterminazione...
Che pasticcio che é questa equazione!
Un aiuto per favore!
Un'altra possibilità consiste nel risolvere l'equazione differenziale seguente senza arrivare alla scrittura dell'integrale:
$ N' - hN + kN^2 = 0 $
dove:
$ L=h/k $
In ogni caso resterei sempre con la tristezza di non essere riuscito a risolvere l'integrale. Non mi spiacerebbe per l'appunto trovare entrambe le strade.
Grazie per il vostro aiuto
$ N' - hN + kN^2 = 0 $
dove:
$ L=h/k $
In ogni caso resterei sempre con la tristezza di non essere riuscito a risolvere l'integrale. Non mi spiacerebbe per l'appunto trovare entrambe le strade.
Grazie per il vostro aiuto
Come hai detto la primitiva del primo limite è:
[tex]f(n)=\log(n)-\log(L-n)[/tex]
calcolata nell'intervallo [tex][0, N][/tex]
[tex]\displaystyle f(N)-f(0)=[/tex]
[tex]\displaystyle \log(N)-\log(L-N)-\lim_{n\to 0}\log(n)+\log(L)=\log\left(\frac{NL}{N-L}\right)-\lim_{n\to 0}\log(n)
=+\infty[/tex]
A me sembra che non converga a meno che o [tex]N[/tex] o [tex]L[/tex] si annullino, cosa che renderebbe rispettivamente nullo l'intervallo di integrazione e l'integrando e quindi l'integrale.
[tex]f(n)=\log(n)-\log(L-n)[/tex]
calcolata nell'intervallo [tex][0, N][/tex]
[tex]\displaystyle f(N)-f(0)=[/tex]
[tex]\displaystyle \log(N)-\log(L-N)-\lim_{n\to 0}\log(n)+\log(L)=\log\left(\frac{NL}{N-L}\right)-\lim_{n\to 0}\log(n)
=+\infty[/tex]
A me sembra che non converga a meno che o [tex]N[/tex] o [tex]L[/tex] si annullino, cosa che renderebbe rispettivamente nullo l'intervallo di integrazione e l'integrando e quindi l'integrale.
Grazie per il tuo aiuto. Anche a me sembra che quell'integrale non possa convergere però la scrittura dell'integrale deriva dall'equazione differenziale del primo ordine scritta sopra che ha una ben precisa soluzione.
Partendo dall'equazione
[tex]N'-hN+kN^2=0[/tex]
si ha:
[tex]\dfrac{dN}{dP}-hN+kN^2=0[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{p_0}^{p_1}dP=P(p_1)-P(p_0)=\int_{n_0}^{n_1}\frac{1}{N(h-kN)}dN=\frac{1}{h}\int_{n_0}^{n_1}\frac{k}{h-kN}+\frac{1}{N}dN=[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{h}\int_{n_0}^{n_1}\frac{1}{L-N}+\frac{1}{N}dN=\frac{1}{h}\log(N)-\log(L-N)+\bigg{|}_{n_0}^{n_1}=\frac{1}{h}\left(\log(n_1)-\log(L-n_1)-\log(n_0)+\log(L-n_0)\right)=[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{h}\log\left(\frac{n_1(L-n_0)}{n_0(L-n_1)}\right)[/tex]
in definitiva:
[tex]\displaystyle P(p_1)-P(p_0)=\dfrac{1}{h}\log\left(\frac{n_1(L-n_0)}{n_0(L-n_1)}\right)[/tex]
A questo punto dipende tutto dagli estremi. Difficile da sindacare se non si conosce il problema, non so se ingegneristico o meno.
[tex]N'-hN+kN^2=0[/tex]
si ha:
[tex]\dfrac{dN}{dP}-hN+kN^2=0[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{p_0}^{p_1}dP=P(p_1)-P(p_0)=\int_{n_0}^{n_1}\frac{1}{N(h-kN)}dN=\frac{1}{h}\int_{n_0}^{n_1}\frac{k}{h-kN}+\frac{1}{N}dN=[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{h}\int_{n_0}^{n_1}\frac{1}{L-N}+\frac{1}{N}dN=\frac{1}{h}\log(N)-\log(L-N)+\bigg{|}_{n_0}^{n_1}=\frac{1}{h}\left(\log(n_1)-\log(L-n_1)-\log(n_0)+\log(L-n_0)\right)=[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{h}\log\left(\frac{n_1(L-n_0)}{n_0(L-n_1)}\right)[/tex]
in definitiva:
[tex]\displaystyle P(p_1)-P(p_0)=\dfrac{1}{h}\log\left(\frac{n_1(L-n_0)}{n_0(L-n_1)}\right)[/tex]
A questo punto dipende tutto dagli estremi. Difficile da sindacare se non si conosce il problema, non so se ingegneristico o meno.
n0 = 0 ed il risultato non mi sembra corretto perché per log tendente ad infinito la differenza tra la grandezza P valutata in p1 e poi in p0 sarebbe di fatto finita...
la soluzione dell'equazione differenziale é puramente matematica si tratta infatti di un'equazione differenziale del primo ordine...
ricordo in passato di averne risolte pure di più difficili...
grazie per il tuo aiuto sei davvero un angelo!
la soluzione dell'equazione differenziale é puramente matematica si tratta infatti di un'equazione differenziale del primo ordine...
ricordo in passato di averne risolte pure di più difficili...
grazie per il tuo aiuto sei davvero un angelo!
mah... chi u sa é bbravo...
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