Problema con un integrale definito!
Buongiorno, l'integrale è:
$\int_{0}^{pi/2} (1 + cos x) /( 1+ sin x) dx $
Io ho prima di tutto effettuato una sostituzione usando le formule parametriche, ho posto:
Dopo di che ho semplificato e ho ottenuto:
$4 \int_{0}^{1}1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) dt $
A sto punto ho usato la scomposizione in fratti semplici:
$1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) = A/(1+t) + B/(1+t) + (Ct + D)/(1+t^2)$
Il sistema che mi è venuto è:
$\{(A + B + C = 0),(A + B + 2C+ D=0),(A+B+C+2D=0),(A+B+D=1):}$
Ma risolvendolo arrivo a un punto "morto" ottengo due volte la stessa equazione quindi non riesco a calcolarmi il valore di A e B senza usare un parametro!
Ho visto la soluzione sul libro e il risultato della scomposizione è:
$1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) = 1/(2(1+t)) + 1/(2(1+t)^2) - t/(2(1+t^2))$
Non c'è lo svolgimento della scomposizione.. solo il risultato! Non riesco a capire perchè viene così... dove ho sbagliato? Comunque il risultato deve essere $ln (2+1)$.
Grazie mille in anticipo!
$\int_{0}^{pi/2} (1 + cos x) /( 1+ sin x) dx $
Io ho prima di tutto effettuato una sostituzione usando le formule parametriche, ho posto:
Dopo di che ho semplificato e ho ottenuto:
$4 \int_{0}^{1}1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) dt $
A sto punto ho usato la scomposizione in fratti semplici:
$1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) = A/(1+t) + B/(1+t) + (Ct + D)/(1+t^2)$
Il sistema che mi è venuto è:
$\{(A + B + C = 0),(A + B + 2C+ D=0),(A+B+C+2D=0),(A+B+D=1):}$
Ma risolvendolo arrivo a un punto "morto" ottengo due volte la stessa equazione quindi non riesco a calcolarmi il valore di A e B senza usare un parametro!
Ho visto la soluzione sul libro e il risultato della scomposizione è:
$1/ ((1+t)^2 (1+t^2)) = 1/(2(1+t)) + 1/(2(1+t)^2) - t/(2(1+t^2))$
Non c'è lo svolgimento della scomposizione.. solo il risultato! Non riesco a capire perchè viene così... dove ho sbagliato? Comunque il risultato deve essere $ln (2+1)$.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Quando scomponi in fratti semplici devi considerare la molteplicità delle radici:
$(1+t)^2 =t^2 +2t+1 $ che ha una radice reale con moltelicità 2 .. devi tenerne conto quando fai quella scomposizione..
avresti $A/(t+1) + B/(t+1)^2 + (Ct+D)/(1+t^2)$
$(1+t)^2 =t^2 +2t+1 $ che ha una radice reale con moltelicità 2 .. devi tenerne conto quando fai quella scomposizione..
avresti $A/(t+1) + B/(t+1)^2 + (Ct+D)/(1+t^2)$
Inizio a pensa di essere stupido...
È stata la prima cosa a cui ho pensato quando ho visto che il sistema non mi tornava dato che era l'errore che facevo più spesso in questo tipo di esercizi!
Però ho pensato di poter scomporre $t^2 + 2t + 1 = 0$ in $(t+1) (t+1)$, ottenendo quindi due termini di primo grado... e ancora adesso, nonostante le risposte, non riesco a capire perchè deve venire $A/(t+1) + B/(t+1)^2 + (Ct+D)/(1+t^2)$ e non $A/(t+1) + B/(t+1) + (Ct+D)/(1+t^2)$
Anche perchè in questo caso il secondo termine dovrebbe essere Bt + E o sbaglio?
Perchè mi sono dovuto ammalare proprio mentre spiegavano sta roba -.-
È stata la prima cosa a cui ho pensato quando ho visto che il sistema non mi tornava dato che era l'errore che facevo più spesso in questo tipo di esercizi!
Però ho pensato di poter scomporre $t^2 + 2t + 1 = 0$ in $(t+1) (t+1)$, ottenendo quindi due termini di primo grado... e ancora adesso, nonostante le risposte, non riesco a capire perchè deve venire $A/(t+1) + B/(t+1)^2 + (Ct+D)/(1+t^2)$ e non $A/(t+1) + B/(t+1) + (Ct+D)/(1+t^2)$
Anche perchè in questo caso il secondo termine dovrebbe essere Bt + E o sbaglio?
Perchè mi sono dovuto ammalare proprio mentre spiegavano sta roba -.-
C'è tutto spiegato nel post che ti ho linkato sopra.
Quindi se è di grado 2 non posso scomporlo in un prodotto di due polinomi distinti e devo tenermi $(t+1)^2$..
Però non riesco a capire perchè esce fuori $A/(t+1) + B/(t+1)^2$, non dovrebbe essere $(At)/(t+1)^2 + B/(t+1)^2$?
Però non riesco a capire perchè esce fuori $A/(t+1) + B/(t+1)^2$, non dovrebbe essere $(At)/(t+1)^2 + B/(t+1)^2$?
È la stessissima cosa.
Infatti hai:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2} = \frac{A(t-1)+B+A}{(t+1)^2} = \frac{A}{t+1}+ \frac{B+A}{(t+1)^2}
\]
e ti basta chiamare \(B^\prime :=B+A\) una nuova costante per ottenere la decomposizione equivalente:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2} =\frac{A}{t+1}+ \frac{B^\prime}{(t+1)^2}\; .
\]
Insomma, a parte il nome delle incognite, non c'è alcuna differenza nel cercare la decomposizione con addendi del tipo:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2}
\]
o del tipo:
\[
\frac{A}{t+1}+ \frac{B}{(t+1)^2}\; .
\]
Infatti hai:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2} = \frac{A(t-1)+B+A}{(t+1)^2} = \frac{A}{t+1}+ \frac{B+A}{(t+1)^2}
\]
e ti basta chiamare \(B^\prime :=B+A\) una nuova costante per ottenere la decomposizione equivalente:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2} =\frac{A}{t+1}+ \frac{B^\prime}{(t+1)^2}\; .
\]
Insomma, a parte il nome delle incognite, non c'è alcuna differenza nel cercare la decomposizione con addendi del tipo:
\[
\frac{At+B}{(t+1)^2}
\]
o del tipo:
\[
\frac{A}{t+1}+ \frac{B}{(t+1)^2}\; .
\]
Ti ringrazio (ancora una volta 
).. se riuscirò a fare gli integrali per bene sarà merito tuo!!
).. se riuscirò a fare gli integrali per bene sarà merito tuo!!
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