Problema con un Integrale..

[Chicco_Stat_1]

Salve a tutti popolo di Matematicamente, è un sacco che non ci sentiamo!
Mi rivolgo a voi a causa delle mie imperdonabili carenze in materia di integrazione complessa...

step by step questo è il problema e il punto a cui sono arrivato (se non vi interessa la derivazione potete saltare direttamente all'integrale finale):

Sto cercando di derivare la distribuzione probabilistica della variabile casuale $S=sum_{i=1}^n X_i$, dove le $X_i$ sono i.i.d. (indipendenti identicamente distribuite) secondo una legge Logaritmica, la cui funzione di probabilità è

$phi_{X} (x;theta) = \frac {theta^x}{-x*ln(1-theta)}, x=1,2,...; theta in (0,1)

al fine di ottenere la distribuzione di $S$ ho pensato di passare per le funzioni caratteristiche delle $X_i$, in quanto è fatto noto che se $X_i$ $i.i.d. ~X, AAi=1,...,n$ allora

$Phi_{X_i}(t) = E[e^{i*t*X_i}]=E[e^{i*t*X}]=Phi_{X}(t), AAi=1,...,n$

e

$Phi_{S=sum_{i=1}^nX_i}(t)=prod_{i=1}^n Phi_{X_i}(t) = [Phi_{X}(t)]^n

$Phi_{X}(t)$ si deriva agevolmente:

$Phi_{X}(t)=E[e^{i*t*X}]=sum_{x=1}^oo e^{i*t*x}*theta^x/{-x*ln(1-theta)}=1/{-ln(1-theta)}*sum_{x=1}^oo e^{i*t*x}*theta^x/x=1/{-ln(1-theta)}*[-ln(1-e^{i*t}*theta)]=\frac{ln(1-e^{i*t}*theta)}{ln(1-theta)}

segue quindi che

$Phi_{S}(t)=[\frac{ln(1-e^{i*t}*theta)}{ln(1-theta)}]^n

Avendo ottenuto la funzione caratteristica di $S$ ho cercato di derivare la funzione di distribuzione (o di ripartizione che dir si voglia) $F_S(s)=Pr[S<=s]$ facendo uso della relazione

$F_S(s_1) - F_S(s_0) = lim_{tau->oo} 1/{2*pi}*int_{-tau}^tau \frac{e^{i*t*s_0}-e^{i*t*s_1}}{i*t} * Phi_S(t)dt=lim_{tau->oo} 1/{2*pi}*int_{-tau}^tau \frac{e^{i*t*s_0}-e^{i*t*s_1}}{i*t} * [\frac{ln(1-e^{i*t}*theta)}{ln(1-theta)}]^ndt


e qui mi sono arenato come un capodoglio sulla spiaggia...any help?

[Chicco_Stat_1]

se non ho letto male il regolamento era possibile un up passati tre giorni dal primo post..ne son passati sei quindi penso di potere ^_^
visto che non ho avuto risposta ci riprovo..grazie in ogni caso