Problema con un integrale

[darakum]

Ciao a tutti,chi mi da una mano nella risoluzione di questo integrale? Mi sono bloccato e non capisco come procedere.

$∫- dx /((3+x)√(1-x) ) $

Ho applicato il metodo di sostituzione:

$t= √(1+x)$
$dt = - (1)/(2√(1-x)) dx$
$x=-t^2+1$

Quindi,sostituendo x,dx e t:

$ ∫ 1 /((3-t^2+1)(t) (2√t) ) $

Ora,come procedo se ho fatto tutto in modo esatto? Grazie!

[Lo_zio_Tom]

hai sbagliato a sostituire

il tuo integrale di partenza è

$2int(-1)/((3+x)2sqrt(1-x))dx$

se poni (come hai fatto)

$sqrt(1-x)=t$

$-1/(2sqrt(1-x))dx=dt$

$x=1-t^2$

ottieni

$2int1/(4-t^2)dt$

o no?

[darakum]

"tommik":hai sbagliato a sostituire

il tuo integrale di partenza è

$2int(-1)/((3+x)2sqrt(1-x))dx$

se poni (come hai fatto)

$sqrt(1-x)=t$

$-1/(2sqrt(1-x))dx=dt$

$x=1-t^2$

ottieni

$2int1/(4-t^2)dt$

o no?

Quidni,mi trovo:

$int 1/(-2t^3+8t)$

Giusto?

Però avevo messo in evidenza 2t e non solo due,è sbagliato?

$int 1/(2t(-t^2+4))$ ----> $2t int 1/(-t^2+4)$

Successivamente procedo con il metodo di scomposizione per parti?

[Lo_zio_Tom]

fai bene i conti perché hai un $t$ di troppo...(e comunque il $t$ non potresti metterlo fuori dal segno di integrale, essendo una variabile)


$2int1/(x+3)\cdot(-1)/(2sqrt(1-x))dx=2int1/(4-t^2)dt$



ti trovi con questi conti?

[darakum]

"tommik":fai bene i conti perché hai un $t$ di troppo...(e comunque il $t$ non potresti metterlo fuori dal segno di integrale, essendo una variabile)


$2int1/(x+3)\cdot(-1)/(2sqrt(1-x))dx=2int1/(4-t^2)dt$



ti trovi con questi conti?

Per quanto riguarda la sostituzione mi trovo,non riesco a capire il risultato che viene al denominatore..

$int1/(x+3)\cdot(-1)/(2sqrt(1-x))dx$

Io mi trovo così: come fa a venire solo $t^2-4 $ che fine fa $sqrt t $ ?

$ 2 int (1)/ ( (4-t^2)(sqrt(t)) ) $

come fa a venire solo $t^2-4 $ ?

[Lo_zio_Tom]

"darakum":
$dt = - (1)/(2√(1-x)) dx$

questo lo hai scritto tu eh.....ed è giusto! quindi se sostituisci nell'integranda al posto di

$-1/(2sqrt(1-x))dx$ ci metti $dt$


mi pare semplice.....come fai tu a trovarti ancora una t al denominatore proprio non me lo spiego (hai guardato il mio disegnino?)

[darakum]

"tommik":[quote="darakum"]
$dt = - (1)/(2√(1-x)) dx$

questo lo hai scritto tu eh.....ed è giusto! quindi se sostituisci nell'integranda al posto di

$-1/(2sqrt(1-x))dx$ ci metti $dt$


mi pare semplice.....come fai tu a trovarti ancora una t al denominatore proprio non me lo spiego (hai guardato il mio disegnino?)[/quote]

Allora le sostituzioni da fare sono:

$t= √(1+x)$
$dt = - (1)/(2√(1-x)) dx$
$x=-t^2+1$


Quindi in questa: $-1/(2sqrt(1-x))dx$ sostituisco $x=-t^2+1$ e quindi mi trovo $1/t$

E quindi:

$2int1/(4-t^2)\cdot(1)/(t)$

[Lo_zio_Tom]

no

te lo faccio tutto così poi con calma lo riguardi....

$int(-1)/((x+3)sqrt(1-x))dx=2int(-1)/((x+3)2sqrt(1-x))dx$

pongo

$sqrt(1-x)=t$ ora differenziamo ambo i membri ottenendo

$-1/(2sqrt(1-x))dx=dt$

$x=1-t^2$ -> e quindi $(x+3)=4-t^2$

sostituendo ottieni

$2int1/(4-t^2)dt$, [size=150]dato che tutta l'espressione[/size] $(-1)/(2sqrt(1-x))dx$ viene sostituita da $dt$. L'errore che fai tu è quello di andare a sostituire di nuovo la $x=1-t^2$ in questa espressione, dimenticando che tutta l'espressione è inglobata nel nuovo differenziale, $dt$

proseguendo otteniamo

$2int1/(4-t^2)dt=1/2int1/(2-t)dt+1/2int1/(2+t)dt=-1/2log|2-t|+1/2log|2+t|=$

$=logsqrt((2+sqrt(1-x))/(|2-sqrt(1-x)|))+C$

spero sia chiaro perché meglio di così non so come spiegartelo...ti ho anche fatto un disegnino con i cerchiolini rossi dove si vede cosa sostituisce cosa........

[darakum]

"tommik":no

te lo faccio tutto così poi con calma lo riguardi....

$int(-1)/((x+3)sqrt(1-x))dx=2int(-1)/((x+3)2sqrt(1-x))dx$

pongo

$sqrt(1-x)=t$ ora differenziamo ambo i membri ottenendo

$-1/(2sqrt(1-x))dx=dt$

$x=1-t^2$ -> e quindi $(x+3)=4-t^2$

sostituendo ottieni

$2int1/(4-t^2)dt$, [size=150]dato che tutta l'espressione[/size] $(-1)/(2sqrt(1-x))dx$ viene sostituita da $dt$. L'errore che fai tu è quello di andare a sostituire di nuovo la $x=1-t^2$ in questa espressione, dimenticando che tutta l'espressione è inglobata nel nuovo differenziale, $dt$

proseguendo otteniamo

$2int1/(4-t^2)dt=1/2int1/(2-t)dt+1/2int1/(2+t)dt=-1/2log|2-t|+1/2log|2+t|=$

$=logsqrt((2+sqrt(1-x))/(|2-sqrt(1-x)|))+C$

spero sia chiaro perché meglio di così non so come spiegartelo...ti ho anche fatto un disegnino con i cerchiolini rossi dove si vede cosa sostituisce cosa........

Grazie tutto molto chiaro..Ho capito l'errore,grazie ancora