Problema con un altro limite...così?

[smaug1]

\(\displaystyle x \rightarrow o^+ \)

\(\displaystyle \frac{1 - cosx - sen2x}{\pi^2 - 9arctg^2(\frac{\sqrt{3}}{1 + x})} \)

Secondo voi fino a quale grado basta fermarsi? Io ho fatto così

\(\displaystyle \frac{1-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4} + o(x^4) -2x + \frac{4x^3}{3} + o(x^4) }{\pi^2 - 9\frac{3}{(1 + x)^2}} ?? \)

il mio problema è il denominatore!

[Seneca1]

Non serve neanche Taylor...

Basta vedere che $1 - cos(x)$ è un infinitesimo del secondo ordine, mentre $- sin(2x)$ è un infinitesimo del prim'ordine. Quindi si ha:

$1 - cos(x) - sin(2x) sim - sin(2x) sim - 2x$ per $x -> 0^+$.

Al denominatore puoi scomporre così: $( pi - 3 arctan( sqrt(3)/(1 + x) ) ) * ( pi + 3 arctan( sqrt(3)/(1 + x) ) )$... Prova a vedere cosa riesci a combinare...

[smaug1]

SI seneca prima che mi rispondessi avevo capito che \(\displaystyle 1-cosx = o(sen2x) \) e che quindi il numeratore si può scrivere come \(\displaystyle -2x \), non avevo notato tuttavia quella differenza di due quadrati...ma come usarla?? non credo de l'hopital o qualche limite notevole, forse deve essere usato taylor?

[Sk_Anonymous]

Anche se non è un problema insormontabile, magari utilizzando il suggerimento di Seneca, temo che tu debba sviluppare il denominatore esplicitamente. Altrimenti, proprio utilizzando quella scomposizione:

$[-pi/2
$pi-3arctan(sqrt(3)/(1+x))=3[pi/3-arctan(sqrt(3)/(1+x))]=3[arctansqrt3-arctan(sqrt(3)/(1+x))]=$

$=3arctan((sqrt3x)/(x+4))=3arctan[sqrt3/4x+o(x)]=(3sqrt3)/4x+o(x)$

quando $[x->0]$.

[smaug1]

con taylor il deniminatore mi viene:

\(\displaystyle (\frac{3\sqrt{3}x}{4} + o(x)) (2\pi - \frac{3\sqrt{3}x}{4} + o(x)) \) è corretto?

[Sk_Anonymous]

Secondo il procedimento che ti ho mostrato in precedenza, il denominatore dovrebbe essere:

$[(3sqrt3)/4x+o(x)][2pi+o(1)]=[(3sqrt3pi)/2x+o(x)]$.

I due sviluppi sono equivalenti.