Problema con trasformatai Laplace
Ciao! Gentilmente qualcuno potrebbe indicarmi i passi per risolvere questo tipo di esercizi? Ho la risoluzione, ma non ho capito il metodo dato che le formule che adotta il "risolutore" in questione sono diverse da quelle che conosco... Sinceramente non so neanche che formula usa...
Risolvere il problema $ y^(''') −y = 0 $
$ y(0) = 1 , y^{\prime}(0) = y^{\prime}'(0) = y^{\prime}''(0) = 0 $
utilizzando la trasformata di Laplace. Esprimere la soluzione tramite funzioni reali.
Sinceramente non saprei da dove partire dato che non ho mai visto un'esercizio del genere...
Grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno!
Risolvere il problema $ y^(''') −y = 0 $
$ y(0) = 1 , y^{\prime}(0) = y^{\prime}'(0) = y^{\prime}''(0) = 0 $
utilizzando la trasformata di Laplace. Esprimere la soluzione tramite funzioni reali.
Sinceramente non saprei da dove partire dato che non ho mai visto un'esercizio del genere...
Grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno!
Risposte
Si tratta di equazioni differenziali (problema di C.), teoricamente il metodo di risoluzione è piuttosto standard.
Prendi l'equazione generale, in questo caso $ y^(''') −y = 0 $ e la L-trasformi ricordando le proprietà della trasformata di Laplace (in particolare della derivata)
$ y->Y(s) $
$ y'->sY(s)-y(0^+) $
$ y''->s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+) $
$ y'''->s(s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+))-y''(0^+) $
Dopo sostituisci le le condizioni iniziali che ti ha dato il problema, raccogli tutto per $ Y(s) $ e ti ritrovi $ Y(s)=(N(s))/(D(s)) $ fai l'anti-trasformata di Laplace di $ Y(s) $ (Heaviside per esempio) e così hai trovato la funzione $ y(t) $
Prendi l'equazione generale, in questo caso $ y^(''') −y = 0 $ e la L-trasformi ricordando le proprietà della trasformata di Laplace (in particolare della derivata)
$ y->Y(s) $
$ y'->sY(s)-y(0^+) $
$ y''->s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+) $
$ y'''->s(s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+))-y''(0^+) $
Dopo sostituisci le le condizioni iniziali che ti ha dato il problema, raccogli tutto per $ Y(s) $ e ti ritrovi $ Y(s)=(N(s))/(D(s)) $ fai l'anti-trasformata di Laplace di $ Y(s) $ (Heaviside per esempio) e così hai trovato la funzione $ y(t) $
"DigYourOwnHole":
Si tratta di equazioni differenziali (problema di C.), teoricamente il metodo di risoluzione è piuttosto standard.
Prendi l'equazione generale, in questo caso $ y^(''') −y = 0 $ e la L-trasformi ricordando le proprietà della trasformata di Laplace (in particolare della derivata)
$ y->Y(s) $
$ y'->sY(s)-y(0^+) $
$ y''->s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+) $
$ y'''->s(s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+))-y''(0^+) $
Dopo sostituisci le le condizioni iniziali che ti ha dato il problema, raccogli tutto per $ Y(s) $ e ti ritrovi $ Y(s)=(N(s))/(D(s)) $ fai l'anti-trasformata di Laplace di $ Y(s) $ (Heaviside per esempio) e così hai trovato la funzione $ y(t) $
Allora, io ho fatto la L-trasformata e mi viene:
$ y^(''')=s^3L(y)-s^2; $
$ y^('')=0; $
$ y^(')=0; $
$ y=L(y) $
E quindi trovando $ L(y)= s^2/(s^3-1) $
Fino a qua è giusto?
"Mandiatutti":
[quote="DigYourOwnHole"]Si tratta di equazioni differenziali (problema di C.), teoricamente il metodo di risoluzione è piuttosto standard.
Prendi l'equazione generale, in questo caso $ y^(''') −y = 0 $ e la L-trasformi ricordando le proprietà della trasformata di Laplace (in particolare della derivata)
$ y->Y(s) $
$ y'->sY(s)-y(0^+) $
$ y''->s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+) $
$ y'''->s(s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+))-y''(0^+) $
Dopo sostituisci le le condizioni iniziali che ti ha dato il problema, raccogli tutto per $ Y(s) $ e ti ritrovi $ Y(s)=(N(s))/(D(s)) $ fai l'anti-trasformata di Laplace di $ Y(s) $ (Heaviside per esempio) e così hai trovato la funzione $ y(t) $
Allora, io ho fatto la L-trasformata e mi viene:
$ y^(''')=s^3L(y)-s^2; $
$ y^('')=0; $
$ y^(')=0; $
$ y=L(y) $
E quindi trovando $ L(y)= s^2/(s^3-1) $
Fino a qua è giusto?
[/quote]Non so perché hai scritto $ y'=0,y''=0 $ però si, L(s) è giusta...
"DigYourOwnHole":
[quote="Mandiatutti"][quote="DigYourOwnHole"]Si tratta di equazioni differenziali (problema di C.), teoricamente il metodo di risoluzione è piuttosto standard.
Prendi l'equazione generale, in questo caso $ y^(''') −y = 0 $ e la L-trasformi ricordando le proprietà della trasformata di Laplace (in particolare della derivata)
$ y->Y(s) $
$ y'->sY(s)-y(0^+) $
$ y''->s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+) $
$ y'''->s(s(sY(s)-y(0^+))-y'(0^+))-y''(0^+) $
Dopo sostituisci le le condizioni iniziali che ti ha dato il problema, raccogli tutto per $ Y(s) $ e ti ritrovi $ Y(s)=(N(s))/(D(s)) $ fai l'anti-trasformata di Laplace di $ Y(s) $ (Heaviside per esempio) e così hai trovato la funzione $ y(t) $
Allora, io ho fatto la L-trasformata e mi viene:
$ y^(''')=s^3L(y)-s^2; $
$ y^('')=0; $
$ y^(')=0; $
$ y=L(y) $
E quindi trovando $ L(y)= s^2/(s^3-1) $
Fino a qua è giusto?
[/quote]Non so perché hai scritto $ y'=0,y''=0 $ però si, L(s) è giusta...[/quote]
E qua sorge il problema... Perchè è un esercizio di cui ho i risultati di un mio amico al quale però viene $ L(y)= s^3/(s^4-1) $ Che per continuare l'esercizio (risolvendolo con il metodo dei residui) è una forma più semplice per i calcoli... Purtroppo non ho idea di cosa si il metodo che mi hai citato tu per l'antitrasformata... Saprei farla solo con i residui...
Mi sa che al tuo amico viene diversamente perché hai sbagliato a scrivere il testo, era:
$ y^(IV)-y $ oppure $ y^(''')-y $ ?
Il metodo che ti ho proposto è appunto quello dei residui.
$ y^(IV)-y $ oppure $ y^(''')-y $ ?
Il metodo che ti ho proposto è appunto quello dei residui.
Allora! Sono un deficiente.. scusate il termine, ma è vero! Ho appena perso 3 ore perchè è come hai detto tu! l'equazione è $y^('''')-y=0$... Allora tutto torna! Il testo dell'esercizio è scritto a mano e leggevo 3 apici al posto di 4! Ora siconduco al metodo dei residui (che non sapevo si chiamasse anche così XD ), trovo le singolarità che sono $ +- 1,+-i $. Calcolo la trasformata di Fourier e sommo tutte le possibilità calcolate nei punti di singolarità... Ora solo un'ultima domanda... Sempre che fin qui sia tutto giusto ciò che ho detto... Il metodo dei residui vale solamente per un ordine <0 giusto?
"Mandiatutti":
Allora! Sono un deficiente.. scusate il termine, ma è vero! Ho appena perso 3 ore perchè è come hai detto tu! l'equazione è $y^('''')-y=0$... Allora tutto torna! Il testo dell'esercizio è scritto a mano e leggevo 3 apici al posto di 4! Ora siconduco al metodo dei residui (che non sapevo si chiamasse anche così XD ), trovo le singolarità che sono $ +- 1,+-i $. Calcolo la trasformata di Fourier e sommo tutte le possibilità calcolate nei punti di singolarità... Ora solo un'ultima domanda... Sempre che fin qui sia tutto giusto ciò che ho detto... Il metodo dei residui vale solamente per un ordine <0 giusto?
Ciao, non so perché parlavi anche della trasformata di Fourier, magari è un'altro metodo, io ne conosco solo uno:
$ y(t)=H(t)[sumresidui-di(Y(s)*e^(st))] $ con $ H(t) $ funzione di Heaviside (o scalino, non so come lo chiamate nel vostro corso) e si applica quando la funzione da anti-trasformare è propria.
Ora non so se parlavi di un'altro metodo in ogni caso metodi differenti devono portare allo stesso risultato.
Stiamo parlando della stessa formula... L'argomento dei residui è fourier praticamente....
Edit: Solo per essere sicuro al 100% a me viene $ 1/2 cos(t) $ come risultato dell'antitrasformata... Torna?
L'argomento dei residui è fourier praticamente....Edit: Solo per essere sicuro al 100% a me viene $ 1/2 cos(t) $ come risultato dell'antitrasformata... Torna?
Ciao, a me fa
$ 1/4H(t)[e^t+e^(-t)+e^i+e^-i]=1/2H(t)[cos(1)+cosh(t)] $
Ma non ci metterei la mano sul fuoco.
$ 1/4H(t)[e^t+e^(-t)+e^i+e^-i]=1/2H(t)[cos(1)+cosh(t)] $
Ma non ci metterei la mano sul fuoco.
"DigYourOwnHole":
Ciao, a me fa
$ 1/4H(t)[e^t+e^(-t)+e^i+e^-i]=1/2H(t)[cos(1)+cosh(t)] $
Ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Ciao! Scusa,ma gli ultimi due termini all'interno della parentesi non sono: $ e^(it) + e^(-it) $ ?
Si, è vero scusa, manca la $ t $
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