Problema con taylor!
Buongiorno a tutti! stamattina risolvendo un limite utilizzando gli sviluppi di taylor mi è venuto un dubbio! L'esarcizio è questo:
$ lim_(X -> 0) ( x sin x-ln(1 + (x)^(2) )) / ((x)^(3) tan x) $
Dopo aver scomposto le varie funzioni fino all'ordine 4 e dopo le varie semplificazioni mi ritrovo
x $ lim_(x->0) ((x)^(4) / 3 + o((x)^(4) )) / ((x)^(4) + (x)^(6)/(3) +o((x)^(4))) $
Intuitivamente mettendo x^4 in evidenza il limite è 1/3 perchè le quantità o per x->0 vanno tutte a 0.
Però non mi era mai capitato un limite dove il grado presente tra le varie X ( 6 in questo caso) fosse maggiore di quello di o!
che ne dite voi?
$ lim_(X -> 0) ( x sin x-ln(1 + (x)^(2) )) / ((x)^(3) tan x) $
Dopo aver scomposto le varie funzioni fino all'ordine 4 e dopo le varie semplificazioni mi ritrovo
x $ lim_(x->0) ((x)^(4) / 3 + o((x)^(4) )) / ((x)^(4) + (x)^(6)/(3) +o((x)^(4))) $
Intuitivamente mettendo x^4 in evidenza il limite è 1/3 perchè le quantità o per x->0 vanno tutte a 0.
Però non mi era mai capitato un limite dove il grado presente tra le varie X ( 6 in questo caso) fosse maggiore di quello di o!
che ne dite voi?
Risposte
Infatti è sbagliato che ti compaia quel termine.
L'$o(x^4)$ dovrebbe "mangiarselo".
L'$o(x^4)$ dovrebbe "mangiarselo".
$x^3 tg(x) = x^3 ( x + x^3/3 + o(x^3) ) = x^4 + x^6/3 + o(x^6)$
(proprietà degli o-piccolo)
(proprietà degli o-piccolo)
quindi devo fare in modo di arrivare all'ordine 6 anche al numeratore?
Non serve. Semplicemente puoi troncare prima lo sviluppo della tangente.
$x^3 * tg(x) = x^3 ( x + o(x) ) = x^4 + o(x^4)$
$x^3 * tg(x) = x^3 ( x + o(x) ) = x^4 + o(x^4)$
grazie =) davvero molto gentile =)
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