Problema con Taylor
Ciao a tutti, provavo a risolvere questo limite ma ho difficoltà a calcolare gli sviluppi "composti":
$lim x->0 sin(e^x - 1) - x - x^2/2/x^4$
Ho sviluppato normalmente prima $e^x = (1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4))$
Sapendo che il seno è $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$ dovrei porre come x lo sviluppo dell'esponenziale.
Innanzitutto volevo sapere se è corretto sviluppare fino al 4° ordine dato che il denominatore è di 4° grado e in generale con limiti più "tosti" come procedere per decidere a quale grado fermarsi. Ad esempio in casi in cui bisogna sviluppare anche il denominatore.
Poi il problema è il cubo di tutta quella roba, dovrei tenere solo i valori entro il quarto grado ma non saprei come muovermi. Così a intuito mi era venuto $-1/6(x^3 + x^4 / 2 + x^4 / 2 + x^4 / 2 + x^4 / 2 )$ perchè ho pensato alle possibilità di moltiplicazione tra i termini x e x^2 / 2 ma dubito fortemente sia giusto
$lim x->0 sin(e^x - 1) - x - x^2/2/x^4$
Ho sviluppato normalmente prima $e^x = (1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4))$
Sapendo che il seno è $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$ dovrei porre come x lo sviluppo dell'esponenziale.
Innanzitutto volevo sapere se è corretto sviluppare fino al 4° ordine dato che il denominatore è di 4° grado e in generale con limiti più "tosti" come procedere per decidere a quale grado fermarsi. Ad esempio in casi in cui bisogna sviluppare anche il denominatore.
Poi il problema è il cubo di tutta quella roba, dovrei tenere solo i valori entro il quarto grado ma non saprei come muovermi. Così a intuito mi era venuto $-1/6(x^3 + x^4 / 2 + x^4 / 2 + x^4 / 2 + x^4 / 2 )$ perchè ho pensato alle possibilità di moltiplicazione tra i termini x e x^2 / 2 ma dubito fortemente sia giusto
Risposte
Hai detto bene sono da considerare i termini solo fino al quarto grado, quindi avrai:
$sin(e^x-1)= x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+o(x^4)-(x+x^2/2+o(x^2))^3/6= x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)-x^3/6-3×x^2×x^2/(12)+o (x^4) $
, sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->0)(x+x^2/2+x^4/(24)-x^4/4-x-x^2/2+o(x^4))/(x^4)$ $=lim_(x->0) (x^4/24-x^4/4)/x^4$ $=lim_(x->0)-5x^4/((24)x^4)$ $=-5/24$
Spero che mi sia spiegato in modo chiaro.
$sin(e^x-1)= x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+o(x^4)-(x+x^2/2+o(x^2))^3/6= x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)-x^3/6-3×x^2×x^2/(12)+o (x^4) $
, sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->0)(x+x^2/2+x^4/(24)-x^4/4-x-x^2/2+o(x^4))/(x^4)$ $=lim_(x->0) (x^4/24-x^4/4)/x^4$ $=lim_(x->0)-5x^4/((24)x^4)$ $=-5/24$
Spero che mi sia spiegato in modo chiaro.
Ciao, anche al professore veniva così. A me invece viene $-7/24$ , probabilmente ho sbagliato qualche calcolo nel cubo o dopo nel limite. Non ho capito però perché hai scritto $3*x^2*x^2/12$ , cioè io provando a svolgere il cubo avevo trovato i termini che ho scritto sopra.
C'è un modo per arrivare più celermente a calcolare i termini da considerare in casi come questo cubo di polinomio? Non a decidere quali, ma a calcolarli riducendo possibilità di errori o dimenticanze. In questo caso l'ho fatto "brutalmente", pensando alle possibili moltiplicazioni, ma è facile scordarsi qualcosa.
E soprattutto, in casi con limiti con sia denominatore che numeratore da sviluppare, va bene come metodo sviluppare uno dei due fino ad arrivare ad un ordine non nullo e attenersi al grado trovato per l'altro?
Grazie.
C'è un modo per arrivare più celermente a calcolare i termini da considerare in casi come questo cubo di polinomio? Non a decidere quali, ma a calcolarli riducendo possibilità di errori o dimenticanze. In questo caso l'ho fatto "brutalmente", pensando alle possibili moltiplicazioni, ma è facile scordarsi qualcosa.
E soprattutto, in casi con limiti con sia denominatore che numeratore da sviluppare, va bene come metodo sviluppare uno dei due fino ad arrivare ad un ordine non nullo e attenersi al grado trovato per l'altro?
Grazie.
Cerco di spiegarmi meglio, comunque prendi con beneficio di inventario ciò che affermo in quanto sono un dilettante in materia.
$(x+x^2/2+o (x^2))^3$ $=(x+(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+.........))^3$
adesso lo svolgo come se fosse il cubo di un binomio, tenendo presente che devo prendere in considerazione gli elementi fino al quarto grado i successivi non interessano, pertanto avro':
$x^3+3×(x)^2×(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+.....)+3×x×(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+......)^2+(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+..... )^3$
se osservi bene nello sviluppo sopra gli unici elementi di grado $<=4$, che vengono fuori sono: $x^3$, ed $(3×x^2×x^2/2)=3x^4/2$, gli altri saranno sicuramente di grado superiore e quindi non interessano ai fini del calcolo del limite.
Per quanto riguarda la seconda domanda cerco di illustrarlo con un esempio:
Sia $lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/(sinx-x+x^3/(3!)-x^5/(5!))$
Adesso osservo che a numeratore ,il termine in $x $ di grado massimo e' $-x^2/2$, questo mi dice che nel calcolo potrebbero
essere coinvolti termini in $x $ successivi al secondo grado, pertanto devo sviluppare la funzione $e^x $ almeno sino al termine di grado successivo al secondo;
Per quanto riguarda il denominatore valgono le medesime considerazioni, pertanto devo sviluppare la funzione $sinx$, almeno sino al termine di grado successivo al quinto;
Sostituendo gli sviluppi, e svolgendo i calcoli, gli unici termini utili che rimangono ai fini del calcolo sono:
a numeratore il termine $x^3/6$, mentre a denominatore $-x^7/(7!) $, avremo pertanto $lim_(x->0)(x^3/6)/(-x^7/(7!)$ $=lim (-(7!)x^3)/(6x^7)=-infty $
Spero che quanto detto sopra sia chiaro, e di essere stato di aiuto.
Saluti!
$(x+x^2/2+o (x^2))^3$ $=(x+(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+.........))^3$
adesso lo svolgo come se fosse il cubo di un binomio, tenendo presente che devo prendere in considerazione gli elementi fino al quarto grado i successivi non interessano, pertanto avro':
$x^3+3×(x)^2×(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+.....)+3×x×(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+......)^2+(x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+..... )^3$
se osservi bene nello sviluppo sopra gli unici elementi di grado $<=4$, che vengono fuori sono: $x^3$, ed $(3×x^2×x^2/2)=3x^4/2$, gli altri saranno sicuramente di grado superiore e quindi non interessano ai fini del calcolo del limite.
Per quanto riguarda la seconda domanda cerco di illustrarlo con un esempio:
Sia $lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/(sinx-x+x^3/(3!)-x^5/(5!))$
Adesso osservo che a numeratore ,il termine in $x $ di grado massimo e' $-x^2/2$, questo mi dice che nel calcolo potrebbero
essere coinvolti termini in $x $ successivi al secondo grado, pertanto devo sviluppare la funzione $e^x $ almeno sino al termine di grado successivo al secondo;
Per quanto riguarda il denominatore valgono le medesime considerazioni, pertanto devo sviluppare la funzione $sinx$, almeno sino al termine di grado successivo al quinto;
Sostituendo gli sviluppi, e svolgendo i calcoli, gli unici termini utili che rimangono ai fini del calcolo sono:
a numeratore il termine $x^3/6$, mentre a denominatore $-x^7/(7!) $, avremo pertanto $lim_(x->0)(x^3/6)/(-x^7/(7!)$ $=lim (-(7!)x^3)/(6x^7)=-infty $
Spero che quanto detto sopra sia chiaro, e di essere stato di aiuto.
Saluti!
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