Problema con sviluppo di Taylor
Ciao a tutti!!!
Ho il seguente esercizio, non riesco ad andare avanti:
"Utilizzando lo sviluppo di Taylor della funzione $cosx$ e il resto della forma di Lagrange dimostrare che:
per ogni $x inRR$ $1-x^2/2-x^4/24<=cosx<=1-x^2/2+x^4/24$"
Facendo lo sviluppo di Taylor fino al 4° grado (che in realtà sarebbe quello di MacLaurin visto che non mi viene dato nessun $x_0$), mi viene esattamente $1-x^2/2+x^4/24$. Ora però non riesco a capire come calcolare il resto. Io so che il resto $R_n(x)=(f^(n+1)(c))/(n+1!)x^(n+1)$. Però come la uso questa formula per questo caso particolare?
Grazie.
Ho il seguente esercizio, non riesco ad andare avanti:
"Utilizzando lo sviluppo di Taylor della funzione $cosx$ e il resto della forma di Lagrange dimostrare che:
per ogni $x inRR$ $1-x^2/2-x^4/24<=cosx<=1-x^2/2+x^4/24$"
Facendo lo sviluppo di Taylor fino al 4° grado (che in realtà sarebbe quello di MacLaurin visto che non mi viene dato nessun $x_0$), mi viene esattamente $1-x^2/2+x^4/24$. Ora però non riesco a capire come calcolare il resto. Io so che il resto $R_n(x)=(f^(n+1)(c))/(n+1!)x^(n+1)$. Però come la uso questa formula per questo caso particolare?
Grazie.
Risposte
Lo sviluppo del coseno fino al 3 termine è:
$1 - x^2/2$.
Adesso sai che per il teorema di Lagrange esiste una $c in [0, x]$, per cui:
$1 - x^2/2 + R_3(x) = 1 - x^2/2 + (f^((4))(c))/(24) x^4 = cos(x)$
Visto che $-1 lef^((4))(c) le 1$ per tute le $c in RR$ hai che:
$1 - x^2/2 - 1/(24)x^4 le cos(x) le 1 - x^2/2 + 1/(24)x^4$
$1 - x^2/2$.
Adesso sai che per il teorema di Lagrange esiste una $c in [0, x]$, per cui:
$1 - x^2/2 + R_3(x) = 1 - x^2/2 + (f^((4))(c))/(24) x^4 = cos(x)$
Visto che $-1 lef^((4))(c) le 1$ per tute le $c in RR$ hai che:
$1 - x^2/2 - 1/(24)x^4 le cos(x) le 1 - x^2/2 + 1/(24)x^4$
Scusa ma perché $f^4(c)$ è compreso tra -1 e 1?
Perchè la derivata quarta di $cos x$ è ancora $ cosx$ che è una funzione limitata tra $-1,1 $ e quindi qualunque sia $ c $ il valore del coseno è senz'altro compreso tra $-1,1$.
Ok capito. Ma da questo fatto della derivata quarta come fa a dire che $1-x^2/2-1/(24)x^4<=cos(x)<=1-x^2/2+1/(24)x^4$. Cioè qual'è il legame? Forse perché dice per tutti i $c in [0,x]$?
Il fatto è questo
$1 - x^2/2 + f^((4))(c)*(x^4)/24 = cos(x)$
Sappiamo che il valore di $f^((4))(c)$ va da $-1$ a $1$
Peggio che ci vada, il massimo errore per difetto li abbiamo se $f^((4))(c)=-1$ e si avrebbe
$cosx=1 - x^2/2-x^4/24$
Prendendo l'altro caso limite, abbiamo $f^((4))(c)=1$ ovvero
$cosx=1 - x^2/2+x^4/24$
I valori intermedi restituiscono un $f^((4))(c)$ minore in valore assoluto, quindi l'errore stesso è minore.
I due valori limite sono quelli sopra, gli altri sono compresi nella disuguaglianza che è la tesi.
Ciao.
$1 - x^2/2 + f^((4))(c)*(x^4)/24 = cos(x)$
Sappiamo che il valore di $f^((4))(c)$ va da $-1$ a $1$
Peggio che ci vada, il massimo errore per difetto li abbiamo se $f^((4))(c)=-1$ e si avrebbe
$cosx=1 - x^2/2-x^4/24$
Prendendo l'altro caso limite, abbiamo $f^((4))(c)=1$ ovvero
$cosx=1 - x^2/2+x^4/24$
I valori intermedi restituiscono un $f^((4))(c)$ minore in valore assoluto, quindi l'errore stesso è minore.
I due valori limite sono quelli sopra, gli altri sono compresi nella disuguaglianza che è la tesi.
Ciao.
Ok capito. Grazie mille. 
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