Problema con superfici

[marcomora]

Ciao a tutti
ho dei problemi con un esercizio, mi potreste aiutare?
l'esercizio dice:
data

$ f(x,y,z)=z^3+x^2z+x^2-y^2 $ e l'insieme $ E=[(x,y,z)in R^3: f(x,y,z)=0] $

1- determinare i o il valore di Zo per cui Po appartiene a E
2- stabilire se l'insieme E è localmente, in un intorno Po=(0,1,Zo), una superficie $ Gamma $ regolare.
3-scrivere l'equazione del piano tangente a $ Gamma $ in Po.

allora per il primo punto ho trovato Zo=1 perchè era l'unico valore che mi faceva risultare la funzione nulla e quindi appartenente a E.

ho problemi con il 2 e il 3.

per dire che è regolare la superficie credo sia simile per le curve, ossia dimostrare che sia abbia derivata continua in E e che abbia la derivata diversa da zero.
il problema che ho è che per le curve utilizzavo un'equazione parametrizzata, quindi dovrei usarla anche qui? e se si come si fa a parametrizzare una cubica??

grazie mille davvero.

[marcomora]

molto molto chiaro.
ma ora mi chiedo allora il procedimento di esplicitare una variabile ha solo il fine di dimostrare il fatto che sia differenziabile e quindi regolare; mi spiego meglio, l'equazione del piano la posso benissimo trovare anche dall'equazione cartesiana di partenza no?

grazie