Problema con studio di funzione (radice di quoziente di logaritmi)
sto avendo un problema con lo studio della seguente funzione:
$ \sqrt(Log[x^2 - 7 x + 12]/Log[x + 5] - 1)$
sono riuscito a risolvere la parte riguardante dominio,asintoti, e positività, tuttavia dopo aver calcolato la derivata prima, che se ho eseguito bene i calcoli dovrebbe essere :
$ (((2 x-7) log(x+5))/(x^2-7 x+12)-(log(x^2-7 x+12))/(x+5))/(2 log^2(x+5) sqrt((log(x^2-7 x+12))/(log(x+5))-1)) $
non riesco risolvere la disequazione derivata>0 per vedere quando la funzione cresce...
per quanto il riguarda il denominatore (correggetemi se sbaglio), il logaritmo al quadrato dovrebbe essere sicuramente positivo, lo stesso vale per la radice, la quale dovrebbe essere sempre positiva nel suo campo di esistenza, quindi al denominatore l'unico che influisce col segno dovrebbe essere x+5, e si dovrebbe quindi porre x> -5.....
il vero problema è il numeratore, in quanto non riesco nemmeno a capire come devo impostare la disequazione per risolverla! Qualche suggerimento al riguardo? Grazie in anticipo per eventuali risposte
$ \sqrt(Log[x^2 - 7 x + 12]/Log[x + 5] - 1)$
sono riuscito a risolvere la parte riguardante dominio,asintoti, e positività, tuttavia dopo aver calcolato la derivata prima, che se ho eseguito bene i calcoli dovrebbe essere :
$ (((2 x-7) log(x+5))/(x^2-7 x+12)-(log(x^2-7 x+12))/(x+5))/(2 log^2(x+5) sqrt((log(x^2-7 x+12))/(log(x+5))-1)) $
non riesco risolvere la disequazione derivata>0 per vedere quando la funzione cresce...
per quanto il riguarda il denominatore (correggetemi se sbaglio), il logaritmo al quadrato dovrebbe essere sicuramente positivo, lo stesso vale per la radice, la quale dovrebbe essere sempre positiva nel suo campo di esistenza, quindi al denominatore l'unico che influisce col segno dovrebbe essere x+5, e si dovrebbe quindi porre x> -5.....
il vero problema è il numeratore, in quanto non riesco nemmeno a capire come devo impostare la disequazione per risolverla! Qualche suggerimento al riguardo? Grazie in anticipo per eventuali risposte
Risposte
benvenuto nel forum.
Scrivi come ti viene il dominio; la derivata mi pare esatta.
non so se ti può essere utile, però quello che dicevi sul denominatore non vale per il segno ma per il dominio, dato che è l'argomento del logaritmo.
tieni conto del dominio, del fatto che dovresti aver già fatto molti calcoli per trovarlo, del fatto che il trinomio è scomponibile, eventualmente puoi distinguere i casi in cui il logaritmo è positivo o negativo, magari combinati con il segno dell'altro termine ($2x-7$) e in ultima analisi si ricorre ad approssimazioni.
mi pare che ci siano parecchi numeri che possono essere "estremi di intervalli" che potrebbe essere consigliabile esaminare separatamente. inserendo vari numeri se "saltano all'occhio" senza tener conto delle limitazioni del dominio, potresti considerare (va comunque verifica i risultati):
$-5; -4; +1; (7- sqrt 5)/2 ; +3; +7/2; +4; +7; (7+ sqrt 5)/2$, se non addirittura altri...
ciao. facci sapere.
Scrivi come ti viene il dominio; la derivata mi pare esatta.
non so se ti può essere utile, però quello che dicevi sul denominatore non vale per il segno ma per il dominio, dato che è l'argomento del logaritmo.
tieni conto del dominio, del fatto che dovresti aver già fatto molti calcoli per trovarlo, del fatto che il trinomio è scomponibile, eventualmente puoi distinguere i casi in cui il logaritmo è positivo o negativo, magari combinati con il segno dell'altro termine ($2x-7$) e in ultima analisi si ricorre ad approssimazioni.
mi pare che ci siano parecchi numeri che possono essere "estremi di intervalli" che potrebbe essere consigliabile esaminare separatamente. inserendo vari numeri se "saltano all'occhio" senza tener conto delle limitazioni del dominio, potresti considerare (va comunque verifica i risultati):
$-5; -4; +1; (7- sqrt 5)/2 ; +3; +7/2; +4; +7; (7+ sqrt 5)/2$, se non addirittura altri...
ciao. facci sapere.
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