Problema con studio di funzione

[Matteo294]

Buongiorno a tutti,
vi chiedo aiuto per questo studio di funzione. Sono incappato in questo problema che non riesco a capire, sicuramente per un errore concettuale, ma non riesco a venirne a capo.
Il testo dell'esercizio è:

\(\displaystyle \text{Studiare il grafico della funzione } f(x) = \sqrt{x} \left|1 + \frac{1}{\ln x} \right| \)

In particolare il problema riguarda il limite per x tendende a 1. Infatti dalla definizione di modulo segue che

\(\displaystyle f(x) = \sqrt{x} \left( 1 + \frac{1}{\ln x} \right) \quad se \quad x \ge \frac{1}{e} \)
oppure
\(\displaystyle \sqrt{x} \left( -1 - \frac{1}{\ln x} \right) \quad se \quad x<\frac{1}{e} \)

Studiando il segno noto che la funzione è sempre positiva. Però facendo il limite sinistro per x tendente a 1 (usando la definizione di modulo) il limite viene -infinito. Com'è possibile? Perchè spaccando il valore assoluto in due ottengo un risultato diverso? Dove sbaglio?

Grazie in anticipo.

[Bokonon]

Ma tienilo il modulo nei limiti. Quando tende a $1^-$ dentro il modulo viene $1+1/0^(-) =1-oo=-oo$ ma il modulo lo rende positivo (la funzione si capovolge attorno all'asse x).