Problema con stima del valore di un integrale
Buongiorno a tutti. Non riesco a capire come risolvere questo integrale. Il testo mi chiede di determinare una stima con un errore minore a 10^-2 di
\(\displaystyle\iint_{[0X1]}^{[0X1]} \,xye^{-xy} dx\,dy \)
Di sicuro non bisogna risolverlo analiticamente, in quanto non è elementare. Secondo me bisogna utilizzare il polinomio di taylor ma non so in che punto calcolarlo. Ho pensato anche al teorema di Dini ma la derivata rispetto a y in (0,0) vale 0 e quindi non posso utilizzarlo. Qualcuno mi può dare una dritta? Grazie a tutti e tanti auguri!
\(\displaystyle\iint_{[0X1]}^{[0X1]} \,xye^{-xy} dx\,dy \)
Di sicuro non bisogna risolverlo analiticamente, in quanto non è elementare. Secondo me bisogna utilizzare il polinomio di taylor ma non so in che punto calcolarlo. Ho pensato anche al teorema di Dini ma la derivata rispetto a y in (0,0) vale 0 e quindi non posso utilizzarlo. Qualcuno mi può dare una dritta? Grazie a tutti e tanti auguri!
Risposte
Una possibilità è effettuare una delle due integrazioni e stimare l'integrale unidimensionale rimanente.
Un'altra possibilità è sviluppare $t e^{-t}$ e stimare tenendo conto del fatto che $t= xy \in [0,1]$.
Un'altra possibilità è sviluppare $t e^{-t}$ e stimare tenendo conto del fatto che $t= xy \in [0,1]$.
si è quello che pensavo. Il problema è su che base devo scegliere questa t? è proprio questo il punto cruciale..posso scegliere tranquillamente di calcolarla in t=0 e quindi poi integrare t-t^2+(t^3)/2 ad esempio?
Devi tener conto del fatto che il termine $t^n$ fornisce (nell'integrale doppio) un contributo pari a
\( \int_0^1 \int_0^1 (xy)^n dx dy = (\int_0^1 x^n dx)^2 = \frac{1}{(n+1)^2} \).
\( \int_0^1 \int_0^1 (xy)^n dx dy = (\int_0^1 x^n dx)^2 = \frac{1}{(n+1)^2} \).
Mmm temo di non capire il tuo suggerimento. 
Il fatto che \(\displaystyle t^n \) fornisca quel determinato contributo mi era già noto ovviamente magari fosse quello il problema 
quindi se ad esempio usassi quel polinomio che ho scritto in precedenza, fermandomi quindi ad un polinomio di terzo grado, arriverei a \(\displaystyle 1/4-1/9+1/32=49/288 \), cioè circa \(\displaystyle 0,17 \)..
ho finito qui o in realtà non ho capito niente?
Il fatto che \(\displaystyle t^n \) fornisca quel determinato contributo mi era già noto ovviamente magari fosse quello il problema quindi se ad esempio usassi quel polinomio che ho scritto in precedenza, fermandomi quindi ad un polinomio di terzo grado, arriverei a \(\displaystyle 1/4-1/9+1/32=49/288 \), cioè circa \(\displaystyle 0,17 \)..ho finito qui o in realtà non ho capito niente?
Basta che sviluppi in serie \( f(t) := t e^{-t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^{n+1} \); poi passi al limite sotto al segno di integrale:
\[ \iint_Q f(xy) dx dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \iint_Q (xy)^{n+1} dx dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! (n+2)^2} .\]
La serie ottenuta è a termini di segno alterno, del tipo \( \sum_n (-1)^n a_n\) con $a_n \ge 0$ per ogni $n$ e $(a_n)$ successione monotona decrescente convergente a $0$; detta $s$ la sua somma e $s_N$ la sua somma parziale $N$-esima, vale la stima \( |s-s_N| \leq a_{N+1} \).
Ti basta dunque trovare $N$ tale che $a_{N+1}$ sia minore della precisione richiesta e calcolare $s_N$.
\[ \iint_Q f(xy) dx dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \iint_Q (xy)^{n+1} dx dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! (n+2)^2} .\]
La serie ottenuta è a termini di segno alterno, del tipo \( \sum_n (-1)^n a_n\) con $a_n \ge 0$ per ogni $n$ e $(a_n)$ successione monotona decrescente convergente a $0$; detta $s$ la sua somma e $s_N$ la sua somma parziale $N$-esima, vale la stima \( |s-s_N| \leq a_{N+1} \).
Ti basta dunque trovare $N$ tale che $a_{N+1}$ sia minore della precisione richiesta e calcolare $s_N$.
ok perfetto credo di aver capito! grazie mille alla fine non ero così distante dalla soluzione corretta e ciò mi conforta
alla fine non ero così distante dalla soluzione corretta e ciò mi conforta
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