Problema con singolarità essenziali e poli
Sull'analisi complessa non ho capito un paio di cose base: supponiamo che la nostra funzione abbia una singolarità in un punto e questo punto sia un polo di ordine >=2 a cosa mi serve la formula per determinare il residuo, se è un polo di ordine >=2 è ovvio che abbia 0 come residuo.
Inoltre non capisco perchè la funzione f(z)=exp(1/z) abbia una singolarità essenziale in z=0, scusate il limite per z-->=0 non fa infinito ? e in tal caso non dovrebbe essere un polo ?
Grazie in anticipo
Inoltre non capisco perchè la funzione f(z)=exp(1/z) abbia una singolarità essenziale in z=0, scusate il limite per z-->=0 non fa infinito ? e in tal caso non dovrebbe essere un polo ?
Grazie in anticipo
Risposte
una funzione con un polo di ordine $n>=2$ non è vero che ha residuo nullo.
infatti sai sicuramente che il residuo di una funzione in un punto corrisponde al coefficiente $c_(-1)$ dello sviluppo di Laurent in quel punto. Per definizione la funzione ha un polo di ordine $n$ quando sono nulli tutti i coefficienti $c_(-k), k>n$.
Esempio: $f(z)= 1/(z-2)^2+3/(z-2)$
nel punto $z=2$ la funzione ha un polo di ordine 2, ma si vede facilmente che il residuo in 2 è 3.
per quanto riguarda la funzione $f(z)=exp(1/z)$ è vero che tende a infinito se ti muovi sull'asse reale, ma muovendoti nel piano complesso quella funzione assume come valori tutti i numeri complessi, con l'eccezione dello 0.
infatti sai sicuramente che il residuo di una funzione in un punto corrisponde al coefficiente $c_(-1)$ dello sviluppo di Laurent in quel punto. Per definizione la funzione ha un polo di ordine $n$ quando sono nulli tutti i coefficienti $c_(-k), k>n$.
Esempio: $f(z)= 1/(z-2)^2+3/(z-2)$
nel punto $z=2$ la funzione ha un polo di ordine 2, ma si vede facilmente che il residuo in 2 è 3.
per quanto riguarda la funzione $f(z)=exp(1/z)$ è vero che tende a infinito se ti muovi sull'asse reale, ma muovendoti nel piano complesso quella funzione assume come valori tutti i numeri complessi, con l'eccezione dello 0.
Grazie mille boris, per il polo mi avevano fornito a lezione la definizione opposta, con la tua perfetto.
Per l'esponenziale ok ci sono, però adesso mi hai creato altri problemi cioè se usando i complessi non valgono le stesse regole sui limiti per i reali, fare i limiti diventa veramente difficile perchè è come muoversi sui limiti di funzioni da R^2-->R, il che non è affatto facile.
Non è che ci sia qualcosa che si salva nel passaggio da R in C come ad esenpio per z-->0 sin(z) è asintotico a z, o altri limiti notevoli che restano validi ? Insomma che armi posso usare ?
Grazie mille di nuovo
Per l'esponenziale ok ci sono, però adesso mi hai creato altri problemi cioè se usando i complessi non valgono le stesse regole sui limiti per i reali, fare i limiti diventa veramente difficile perchè è come muoversi sui limiti di funzioni da R^2-->R, il che non è affatto facile.
Non è che ci sia qualcosa che si salva nel passaggio da R in C come ad esenpio per z-->0 sin(z) è asintotico a z, o altri limiti notevoli che restano validi ? Insomma che armi posso usare ?
Grazie mille di nuovo
io direi che è ancora più difficile, perchè è come muoversi sui limiti di funzioni da $RR^2 rArr RR^2$!
infatti è complesso anche avere una idea della rappresentazione grafica di una funzione da $CC rArr CC$..
beh comunque, così per fare un esempio, in $CC$ $ lim_{z\to\0}sinz/z=1$, così come $lim_{z\to\0}(1-cosz)/z^2=1/2$, te ne puoi accorgere facilmente sviluppando in serie di Laurent, e direi che per ora è questa la strada che preferisco nel calcolo dei limiti.. almeno laddove possibile!
Di più non so che dirti, ho iniziato analisi complessa da poco e la parte di esercizi non l'ho ancora affrontata, per ora solo tanta tanta teoria!
infatti è complesso anche avere una idea della rappresentazione grafica di una funzione da $CC rArr CC$..
beh comunque, così per fare un esempio, in $CC$ $ lim_{z\to\0}sinz/z=1$, così come $lim_{z\to\0}(1-cosz)/z^2=1/2$, te ne puoi accorgere facilmente sviluppando in serie di Laurent, e direi che per ora è questa la strada che preferisco nel calcolo dei limiti.. almeno laddove possibile!
Di più non so che dirti, ho iniziato analisi complessa da poco e la parte di esercizi non l'ho ancora affrontata, per ora solo tanta tanta teoria!
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