Problema con serie
Salve ragazzi, non sto proprio riuscendo a risolvere questo esercizio sulle serie
Studiare la convergenza semplice, uniforme, assoluta e totale della serie:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$
In pratica non sto capendo come comportarmi...è giusto dire che è una serie di potenze a termini alterni?
Ho provato a risolverla con leibniz ponendo $a_n=frac{1}{n-n^(1/2)}$ e, in quanto soddisfa alle condizioni necessarie per la convergenza, posso dire che la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{1}{n-n^(1/2)}$ è convergente;
solo che partendo in questo modo tralascio completamente il termine $t^{n}=(x^2-1)^{n}$
Ho provato anche a iniziare in un altro modo:
trovo dove il termine $frac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}>0$ per affermare poi che sono di fronte a una serie a termini alterni del tipo:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n(b_n)$ con $b_n= frac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$.
Potrebbe essere questa la giusta partenza?
Spero di essere stato il più chiaro possibile e spero in un vostro aiuto. Grazie
Studiare la convergenza semplice, uniforme, assoluta e totale della serie:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$
In pratica non sto capendo come comportarmi...è giusto dire che è una serie di potenze a termini alterni?
Ho provato a risolverla con leibniz ponendo $a_n=frac{1}{n-n^(1/2)}$ e, in quanto soddisfa alle condizioni necessarie per la convergenza, posso dire che la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{1}{n-n^(1/2)}$ è convergente;
solo che partendo in questo modo tralascio completamente il termine $t^{n}=(x^2-1)^{n}$
Ho provato anche a iniziare in un altro modo:
trovo dove il termine $frac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}>0$ per affermare poi che sono di fronte a una serie a termini alterni del tipo:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n(b_n)$ con $b_n= frac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$.
Potrebbe essere questa la giusta partenza?
Spero di essere stato il più chiaro possibile e spero in un vostro aiuto. Grazie
Risposte
Se conosci le serie di potenze, ti sarà anche stato raccontato come determinarne l'insieme di convergenza e che tipo di convergenza c'è da aspettarsi in tale insieme.
Quindi non vedo perchè scomodare Leibniz.
Tuttavia la tua serie non è una serie di potenze, ma una serie riconducibile ad una serie di potenze. Su queste cose avevo scritto un po' di appuntini che ho segnalato qui.
Quindi non vedo perchè scomodare Leibniz.
Tuttavia la tua serie non è una serie di potenze, ma una serie riconducibile ad una serie di potenze. Su queste cose avevo scritto un po' di appuntini che ho segnalato qui.
Grazie mille ora è tutto più chiaro, mi rimane però un dubbio per come comportarmi per il termine $(-1)^{n}$.
Infatti potrei ricondurre la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$
a quella $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{1}{n-n^(1/2)}(y)^{n}$ con $y=(x^2-1)$ però mi rimarrebbe sempre $(-1)^{n}$, per eliminarlo studio la mia serie per $(-1)^{2n}$ e dopo per $(-1)^{2n+1}$ ?
Infatti potrei ricondurre la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{(x^2-1)^{n}}{n-n^(1/2)}$
a quella $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^nfrac{1}{n-n^(1/2)}(y)^{n}$ con $y=(x^2-1)$ però mi rimarrebbe sempre $(-1)^{n}$, per eliminarlo studio la mia serie per $(-1)^{2n}$ e dopo per $(-1)^{2n+1}$ ?
Ma perchè mai ti preoccupa?
Leggi bene l'enunciato del teorema sulla determinazione del raggio di convergenza: ti accorgerai che del segno dei coefficienti non c'è da preoccuparsi.
Leggi bene l'enunciato del teorema sulla determinazione del raggio di convergenza: ti accorgerai che del segno dei coefficienti non c'è da preoccuparsi.
ah ecco...tanto nel momento in cui vado ad applicare il criterio della radice o del rapporto vado a considerare il valore assoluto, giusto ? 
Esatto.
ottimo, per adesso mi sembra di aver capito, appena la svolgo posto il procedimento per sicurezza. Grazie mille ^^
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