Problema con serie
ragazzi buongiorno, ho un problema con una serie con parametro mi blocco sempre allo stesso punto, non so andare avanti ho usato convergenza assoluta e rapporto $ sum_{n=0}^{+infty}[(2^n+3^n)/(3^n+4^n)*(x^(2n+1))] $ svolgendo il rapporto e semplificando ciò che posso arrivo a questo punto : $ |x^2|lim_(n -> 00) [|(2^(n+1)+3^(n+1))3^n+2^(2n)|]/[|(3^(n+1)+2^(2(n+1))(2^n+3^n))| $
grazie in anticipo
grazie in anticipo
Risposte
Ciao VALE0,
Si ha:
$ sum_{n=0}^{+infty} [(2^n+3^n)/(3^n+4^n)] x^{2n + 1} = sum_{n=0}^{+infty} (3^n[(2/3)^n+1])/(3^n[1 +(4/3)^n]] x^{2n + 1} = sum_{n=0}^{+infty} (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) x^{2n + 1} $
Posto $a_n(x) := (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) x^{2n + 1} $ si vede subito che $ lim_{n\ to +infty} a_n(x) = 0 $, per cui la serie proposta può convergere.
Per verificare se effettivamente converge, applicherei il criterio del rapporto alla serie assoluta:
$ sum_{n=0}^{+infty} (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) |x|^{2n + 1} $
Si ha:
$ lim_{n\ to +infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| = lim_{n\ to +infty} frac{(1 + (2/3)^{n + 1})/(1 +(4/3)^{n + 1}) |x|^{2(n + 1) + 1}}{(1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) |x|^{2n + 1} } = |x|^2 lim_{n\ to +infty} frac{(1 + (2/3)^{n + 1})/(1 +(4/3)^{n + 1})}{(1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n)} = $
$ = |x|^2 lim_{n\ to +infty} frac{1 + (2/3)^{n + 1}}{1 + (2/3)^n} \cdot frac{1 + (4/3)^n}{1 +(4/3)^{n + 1}} = |x|^2 frac{1}{1} \cdot frac{1}{4/3} = 3/4 x^2 $
Pertanto la serie proposta converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $ 3/4 x^2 < 1 \implies - frac{2}{sqrt{3}} < x < frac{2}{sqrt{3}} $
Si ha:
$ sum_{n=0}^{+infty} [(2^n+3^n)/(3^n+4^n)] x^{2n + 1} = sum_{n=0}^{+infty} (3^n[(2/3)^n+1])/(3^n[1 +(4/3)^n]] x^{2n + 1} = sum_{n=0}^{+infty} (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) x^{2n + 1} $
Posto $a_n(x) := (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) x^{2n + 1} $ si vede subito che $ lim_{n\ to +infty} a_n(x) = 0 $, per cui la serie proposta può convergere.
Per verificare se effettivamente converge, applicherei il criterio del rapporto alla serie assoluta:
$ sum_{n=0}^{+infty} (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) |x|^{2n + 1} $
Si ha:
$ lim_{n\ to +infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| = lim_{n\ to +infty} frac{(1 + (2/3)^{n + 1})/(1 +(4/3)^{n + 1}) |x|^{2(n + 1) + 1}}{(1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) |x|^{2n + 1} } = |x|^2 lim_{n\ to +infty} frac{(1 + (2/3)^{n + 1})/(1 +(4/3)^{n + 1})}{(1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n)} = $
$ = |x|^2 lim_{n\ to +infty} frac{1 + (2/3)^{n + 1}}{1 + (2/3)^n} \cdot frac{1 + (4/3)^n}{1 +(4/3)^{n + 1}} = |x|^2 frac{1}{1} \cdot frac{1}{4/3} = 3/4 x^2 $
Pertanto la serie proposta converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $ 3/4 x^2 < 1 \implies - frac{2}{sqrt{3}} < x < frac{2}{sqrt{3}} $
Come faccio a fare il limite iniziale avengo due parametri n e x?
Beh hai ragione, in effetti non è detto che quel limite risulti $0 \quad \AA x \in \RR $, ma siccome il denominatore tende all'infinito, di certo esisteranno alcuni valori di $x $ per i quali ciò accade, ad esempio sicuramente per $ |x| \le 1 $
Più precisamente si ha:
$ lim_{n \to +\infty} a_n(x) = x lim_{n \to +\infty} frac{1 + (2/3)^n}{1 + frac{1}{(4/3)^n}} (x^2/(4/3))^n = 0 $
se e solo se $3/4 x^2 < 1 $ cioè se e solo se $- frac{2}{sqrt{3}} < x < frac{2}{sqrt{3}} $, per cui la serie proposta può convergere in tale intervallo. Con la successiva applicazione del criterio del rapporto alla serie assoluta si è verificato che in effetti converge in tale intervallo.
Diciamo che l'ho fatto per risparmiare un po' di tempo, ma la tua osservazione è corretta...
Più precisamente si ha:
$ lim_{n \to +\infty} a_n(x) = x lim_{n \to +\infty} frac{1 + (2/3)^n}{1 + frac{1}{(4/3)^n}} (x^2/(4/3))^n = 0 $
se e solo se $3/4 x^2 < 1 $ cioè se e solo se $- frac{2}{sqrt{3}} < x < frac{2}{sqrt{3}} $, per cui la serie proposta può convergere in tale intervallo. Con la successiva applicazione del criterio del rapporto alla serie assoluta si è verificato che in effetti converge in tale intervallo.
Diciamo che l'ho fatto per risparmiare un po' di tempo, ma la tua osservazione è corretta...
Perche io nel caso di serie con parametro non lo metto il limite proprio per questo problema, quindi sbaglio a non mettere il limite?:)
"VALE0":
quindi sbaglio a non mettere il limite?
Beh no, non è che sbagli, però a volte può essere utile controllare se $lim_{n \to +infty} a_n(x) = 0 $, come ad esempio in questo caso. Onestamente devo dirti che in questo caso non l'ho fatto solo perché avevo già capito che sarebbero venuti conti analoghi applicando il criterio del rapporto...
In altri casi potrebbe non essere utilissimo, ad esempio se la serie proposta fosse stata
$ sum_{n=1}^{+infty} (1 + (2/3)^n)/(1 +(4/3)^n) root[n]{x^2} $
allora $ lim_{n \to +infty} a_n(x) = 0 \quad \AA x \in \RR $ e ciò non avrebbe fornito informazioni di particolare utilità se non che la serie può convergere $ \AA x \in \RR $ ...
Comunque in generale mi sentirei di consigliarti di controllare la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $ lim_{n \to +infty} a_n(x) = 0 $ e/o $ lim_{n \to +infty} |a_n(x)| = 0 $
OK grazie mille
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