Problema con serie
$ sum_(n =1\ldots) (-2)^n(1/n)log(1+1/(2^n*n^(1/3))) $
non riesco proprio a risolverla.
non riesco proprio a risolverla.
Risposte
se porti $2^n$ fuori diventa una serie a termini di segno alterno. Uso il criterio di Leibniz.
① $a_n$ è infinitesimo?
② $a_n > a_(n+1)$? il termine generale della serie è decrescente?
il termine generale della serie è infinitesimo.. se porti $2^n$ a denominatore diventa un $[0/0]$, puoi applicare de l'hopital..
si tratta di studiare un $lim_(n->oo) [D(log...)]/[D(n/2^n)]$.. la derivata di un log va a denominatore, siccome è un log composto resterà poi a numeratore la derivata di $1/(2^n*n^(1/3))$, la cui derivata ti ricordo è $-g(x)/[g(x)]^2$, quindi il quadrato (infinito di ordine superiore) va a denominatore e contribuisce a schiacciare a zero il tutto..
resta ② $(2^n/n)log(1+(1/(2^n*n^(1/3)))) > (2^(n+1)/(n+1))log(1+(1/(2^(n+1)*(n+1)^(1/3))))$ ?
prova a vedere con la derivata prima calcolata nel punto precedente..
qualitativamente parlando: il $log(1+\alpha)$ dove ($\alpha$ è un infinitesimo, come nel nostro caso) tenderà a zero sempre più velocemente per $n->oo$, giusto? è un fattore che, moltiplicato per una frazione (in questo caso $(2^n/n)$), la farà tendere a zero sempre più facilmente con l'aumentare di n... quindi il termine generale della serie decresce con l'aumentare di n..
① $a_n$ è infinitesimo?
② $a_n > a_(n+1)$? il termine generale della serie è decrescente?
il termine generale della serie è infinitesimo.. se porti $2^n$ a denominatore diventa un $[0/0]$, puoi applicare de l'hopital..
si tratta di studiare un $lim_(n->oo) [D(log...)]/[D(n/2^n)]$.. la derivata di un log va a denominatore, siccome è un log composto resterà poi a numeratore la derivata di $1/(2^n*n^(1/3))$, la cui derivata ti ricordo è $-g(x)/[g(x)]^2$, quindi il quadrato (infinito di ordine superiore) va a denominatore e contribuisce a schiacciare a zero il tutto..
resta ② $(2^n/n)log(1+(1/(2^n*n^(1/3)))) > (2^(n+1)/(n+1))log(1+(1/(2^(n+1)*(n+1)^(1/3))))$ ?
prova a vedere con la derivata prima calcolata nel punto precedente..
qualitativamente parlando: il $log(1+\alpha)$ dove ($\alpha$ è un infinitesimo, come nel nostro caso) tenderà a zero sempre più velocemente per $n->oo$, giusto? è un fattore che, moltiplicato per una frazione (in questo caso $(2^n/n)$), la farà tendere a zero sempre più facilmente con l'aumentare di n... quindi il termine generale della serie decresce con l'aumentare di n..
Piu' semplicemente la serie converge assolutamente e quindi converge semplicemente:
$ |(-2)^n(1/n)log(1+1/(2^n\n^(1/3)))| ~ 2^n*1/(2^n*n^(4/3))=1/n^(4/3) $
per $ nrarr+oo $ serie convergente perche' l'esponente di n e' maggiore di 1.
$ |(-2)^n(1/n)log(1+1/(2^n\n^(1/3)))| ~ 2^n*1/(2^n*n^(4/3))=1/n^(4/3) $
per $ nrarr+oo $ serie convergente perche' l'esponente di n e' maggiore di 1.
ciao ostrogoto, non mi è chiaro..
$ log(1+x) ~ x $ per $x->0$, giusto?
$ log(1+x) ~ x $ per $x->0$, giusto?
@Suv: yes!
non dovrebbe maggiorarsi per $n->oo$ ?
Ho applicato il criterio del confronto asintotico [enunciato per esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza ]
e poi mi appello al criterio per il quale $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^p $ converge per $ p>1 $.
e poi mi appello al criterio per il quale $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^p $ converge per $ p>1 $.
si, tuttavia io ricordo che il confronto asintotico andasse fatto in un intorno di $+oo$..
Infatti:
$ log(1+x)~x $ per $ xrarr0 $ si puo' riscrivere come $ log(1+1/n)~1/n $ per $ nrarr+oo$. Puoi pensare a un cambio di variabile: $ x=1/nrarr0 $ per $ nrarr+oo $.
$ log(1+x)~x $ per $ xrarr0 $ si puo' riscrivere come $ log(1+1/n)~1/n $ per $ nrarr+oo$. Puoi pensare a un cambio di variabile: $ x=1/nrarr0 $ per $ nrarr+oo $.
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