Problema con serie

[Shika93]

Ho questa serie che non riesco a fare. Trovare il raggio e l'insieme di convergenza.
$\sum_{n=0}^infty ((2^n+1)/(2^3+3^n))(x-1)^n$
Pongo

$y=x-1$

Poi ho applicato il criterio del rapporto:

$(2^(n+1)+1)/(2^(n+1)+3^(n+1))(2^n+3^n)/(2^n+1)$

Qui mi inchiodo. Non so come semplificare. Sempre ammesso che possa semplificare qualcosa.

[Noisemaker]

Perchè non applichi la radice? se applichi il rapporto quello che hai scritto non è corretto

[Shika93]

$root(n)(2^n+1)/(root(n)(2^n+3^n)$
Sostituisco la radice con l'esponente $1/n$ e calcolo o cosa faccio?

[Noisemaker]

Applicando il criterio della radice hai che:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n+1}{3^n+2^3}|x-1|^n}&\sim\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{3^n }|x-1|^n}= \frac{2}{3 }|x-1|\\
&= \begin{cases}
\mbox{se}\quad \frac{2}{3 }|x-1|<1,\quad-1/2 \mbox{se}\quad \frac{2}{3 }|x-1|=1\quad x=-1/2,x=5/2 \quad\mbox{criterio inefficace;}\\
\mbox{se}\quad \frac{2}{3 }|x-1|>1\quad x<-1/2\cup x>5/2\quad \mbox{non converge.}\\
\end{cases}
\end{align}
Si tratta allora di capire cosa succede per i valori in cui il criterio fallisce; allora se $x=-1/2$ il termine generale della serie diventa:
\begin{align}
(-1)^n\frac{2^n+1}{3^n+2^3}\left(\frac{3}{2}\right)^n\sim (-1)^n \left(\frac{3}{2}\right)^n\left(\frac{3}{2}\right)^n= (-1)^n\to\mbox {non converge;}
\end{align}
se $x=5/2$ il termine generale della serie diventa:
\begin{align}
\frac{2^n+1}{3^n+2^3}\left(\frac{3}{2}\right)^n\sim 1\to\mbox {non converge;}
\end{align}
si conclude che la serie converge per $-1/2

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[Shika93]

Ah radice + confronto?
Con la sola radice infatti non sapevo come continuarlo.
Perfetto allora! Grazie mille!