Problema con residuo per poli di ordine N

anima123
Se \(\displaystyle z_0 \) è un polo di ordine N, la formula da utilizzare per il calcolo del residuo in \(\displaystyle z_0 \) è

\(\displaystyle R_f[z_0] = \frac{1}{(N-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} [(z-z_0)^N f(z)] \)

Bene. Se io ho la funzione :

\(\displaystyle \frac{1}{z^2(1-z)} \) , avrò un polo doppio in \(\displaystyle z_0=0 \) .
Il libro calcola il residuo in questo modo :


\(\displaystyle R_f[0] = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \frac{1}{1-z} = \frac{1}{(1-z)^2} |_{z=0} = 1 \)

1) come è arrivato a \(\displaystyle \frac{d}{dz} \frac{1}{1-z} \) ??

Quando ho studiato il residuo per il polo semplice, la formula era :

\(\displaystyle R_f[z_0] = \frac{A(z_0)}{B'(z_0)} \)

Invece per il polo di ordine N è :

\(\displaystyle R_f[z_0] =N \frac{A^{(N-1)}(z_0)}{B^{(N)}(z_0)} \)

Ma secondo questa formula, e tenendo conto della mia funzione, al numeratore verrebbe la derivata di 1 in \(\displaystyle z_0 \), che fa 0 .

Help?

Risposte
gugo82
1) Ci è arrivato scrivendo esplicitamente la formuletta che hai citato tu con \(z_0=0\) ed \(N=2\).

Inoltre, dove hai preso quelle altre formule?
Io ci starei molto attento ad utilizzarle, perché non funzionano sempre (anzi...).

anima123
le ho prese dal libro..

se sostituisco N = 2 alla prima formula che ho scritto ho

\(\displaystyle R_f[0] = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} [(z - 0)^2 f(z)]\)

quell'ultima parte non saprei proprio come intepretarla :/

anima123
ah no.... ho capito.. siccome il limite lo fa dopo lui semplicemente lascia

\(\displaystyle z^2 f(z) \). cioè \(\displaystyle \frac{1}{1-z} \)

Capito ^^ Grazie per l'aiuto!

gugo82
"anima123":
le ho prese dal libro...

Che libro?

anima123
Lezioni di medoti matematici per l'ingegneria
Luigi Greco (il mio prof)

gugo82
Ah, ecco l'ho trovata (pag. 71).

Come volevo ben dire, quella formula non è valida sempre.
Infatti essa vale solo se il numeratore \(A(z)\) ha uno zero in \(z_0\) d'ordine \(\geq N-1\) e se il denominatore \(B(z)\) ha uno zero d'ordine uguale ad \(N\).
Nel tuo caso hai:
\[
f(z)=\frac{1}{z^2\ (1-z)}
\]
quindi \(A(z)=1\) e \(B(z)=z^2\ (1-z)\). Ma allora la tua formula non è applicabile, poiché infatti il numeratore \(A(z)\) non ha zeri in \(\mathbb{C}\).

anima123
ah ecco.. era una cosa che non avevo proprio preso in considerazione..

Quindi ricapitolando, se la funzione soddisfa quel criterio , allora mi conviene svolgere il residuo con A e B. altrimenti svolgere con quella formula iniziale.

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