Problema con punto critico

[mirko_unifi]

Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:

Stabilire la natura dei punti critici di $f(x,y)= cosx + y^2

Ho calcolato le derivate prime parziali di x e y e mi tornano:

$fx= - senx$
$fy= 2y $

Le pongo uguali a 0 e trovo che il punto critico $Po=(0,0)$

Adesso trovo le derivate seconde per la matrice Hessiana:

$fx x = -cosx$
$fyy=2$

Calcolo il determinante della matrice $ ( ( -cosx , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ che è $detHf(P)=-2cosx
Adesso lo calcolo per il mio punto Po ed ottendo che il $detHf(Po)=-2$ e quindi il punto non è estremante;

Posso dire qualcosa del punto Po, per esempio se è un punto di sella ( se lo è, come faccio a dimostrarlo??) oppure non si può saper nulla di questo punto??

[Mith891]

se non vado errato, per i teorema di Jacobi, se detHf < 0 allora si ha un punto di sella.

[gugo82]

Il punto [tex]$(0,0)$[/tex] è di sella; basta fare un disegno per accorgersene.

E gli altri punti dove si annulla il seno? Sono critici pure quelli, no?

[mirko_unifi]

Per il punto $(0,0) $ faccio la restrizione ai due assi e trovo che $f(x,0)= cosx$ che in x=0 è un massimo e $f(0,y)=y^2$ che in y=0 è minimo e quindi dico che $(0,0)$ è di sella giusto??

Perchè devo vedere anche i punti in cui si annulla il seno??
A lezione la professoressa ci ha detto di vedere solo quando si annulla la derivata parziale prima.

[gugo82]

Mi sembra che il sistema:

[tex]\begin{cases} -\sin x=0 \\ 2y=0\end{cases}[/tex]

abbia anche soluzioni distinte da [tex]$(0,0)$[/tex], no?

[mirko_unifi]

Si, è quindi devo controllare anche quelle??
Se mi puoi spiegare il motivo perchè durante il corso ha detto solo di controllare le derivate prime..

[Fioravante Patrone1]

"mirko_unifi":Si, è quindi devo controllare anche quelle??
Se mi puoi spiegare il motivo perchè durante il corso ha detto solo di controllare le derivate prime..

Dai, non farmi innervosire gugo82

Tu stai controllando le derivate prime!
Le soluzioni del sistema che hai scritto sono precisamente i punti in cui si annullano le derivate prime.

Quello che cercava di farti notare gugo82 (e, sia detto tra noi in confidenza, potevi anche prestargli un po' più di attenzione) è che quel sistema ha anche altre soluzioni oltre a $(0,0)$. Ovvero, ci sono altri punti in cui si annullano le derivate parziali.

[mirko_unifi]

Scusate, avevo sbagliato rigo sul mio foglio; capita a tutti di sbagliare, no?
Grazie della risposta gugo82 e Fioravante Patrone perchè mi avete fatto capire dove sbagliavo.
A presto!