Problema con Ottimizzazione vincolata.
Buonasera a tutti... Dando un' occhiata ai Temi d' Esame usciti gli anni scorsi ad Analisi 2, mi sono imbattuto in quest' esercizio:
Dopo averne giustificato l’esistenza, si determinino massimo e minimo della funzione $f (x, y) = 3*sqrt(xy)$, nell’insieme chiuso D nel primo quadrante del piano delimitato dall’asse x, dall’asse y e dalla linea $f(x,y)= x^2y + y^2 + x = 3$
Ora, partendo da una ricerca di estremi liberi interni al Dominio, calcolo il Gradiente: ${(del f(x,y))/(del x)= 3sqrt(y)/(2sqrt(x)) ; (del f(x,y))/(del y)=3sqrt(x)/(2sqrt(y))}$ . La prima equazione, mi darebbe come soluzione y=0, che però non sarebbe accettabile per la seconda, la seconda x=0 che non risulterebbe però accettabile per la prima. Ora, devo trascurare tale punto (l' origine), arrivando a dedurre che in $D$ non ci siano extremi liberi, e passare direttamente a studiare il comportamento di $f(x,y)$ lungo la frontiera, o c'è qualcosa che sbaglio?
Grazie per l' aiuto,
Canto46
Dopo averne giustificato l’esistenza, si determinino massimo e minimo della funzione $f (x, y) = 3*sqrt(xy)$, nell’insieme chiuso D nel primo quadrante del piano delimitato dall’asse x, dall’asse y e dalla linea $f(x,y)= x^2y + y^2 + x = 3$
Ora, partendo da una ricerca di estremi liberi interni al Dominio, calcolo il Gradiente: ${(del f(x,y))/(del x)= 3sqrt(y)/(2sqrt(x)) ; (del f(x,y))/(del y)=3sqrt(x)/(2sqrt(y))}$ . La prima equazione, mi darebbe come soluzione y=0, che però non sarebbe accettabile per la seconda, la seconda x=0 che non risulterebbe però accettabile per la prima. Ora, devo trascurare tale punto (l' origine), arrivando a dedurre che in $D$ non ci siano extremi liberi, e passare direttamente a studiare il comportamento di $f(x,y)$ lungo la frontiera, o c'è qualcosa che sbaglio?
Grazie per l' aiuto,
Canto46
Risposte
Vi prego... 
In teoria fai bene...ma non riesco a capire che razza di funzione sia quella "linea"
Ciao ELWOOD, innanzitutto grazie per la risposta. Per il disegno, beh, anch' io mi sono scervellato su come poterla disegnare, tentando di scrivere $y$ come $f(x)$, poi mi sono reso conto che non sia una funzione... 
Derive me la disegna come una sorta di Parabola concava verso il basso per la porzione negativa dell' asse $y$, per la parzione positiva, invece, traccia una linea che diventa asintotica all' asse $y$ molto rapidemente per$x<-10$, che cresce a partire da circa $x=-10$ fino a $x=0$ e che poi decresce, "schiacciandosi" sull' asse $x$ a partire circa da $x=3$ e rimanendoci fino ad $infty$.
Derive me la disegna come una sorta di Parabola concava verso il basso per la porzione negativa dell' asse $y$, per la parzione positiva, invece, traccia una linea che diventa asintotica all' asse $y$ molto rapidemente per$x<-10$, che cresce a partire da circa $x=-10$ fino a $x=0$ e che poi decresce, "schiacciandosi" sull' asse $x$ a partire circa da $x=3$ e rimanendoci fino ad $infty$.
Quello che devi fare è esattamente ciò che hai supposto: cioè determinare i massimi e minimi lungo il bordo del domini che, ovviamente sono costituiti dagli assi e dal segmento di curva che si trova nel primo quadrante. Non ti interessa sapere come tale curva sia fatta: in effetti puoi concludere che, sicuramente, i punti di massimo e minimo per la tua funzione, se ci sono, devono stare lungo questa curva, sia usando il ragionamento che hai impostato, sia osservando che la funzione $f$ da te scritta risulta, sul primo quadrante, una specie di cupola che tende a crescere man mano che ti allontani dall'origine.
L'unica cosa da fare è usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: poni $F(x,y,\lambda)=3\sqrt{xy}+\lambda(x^2 y+y^2+x-3)$ da cui hai le condizioni (derivando $F$ rispetto a $x,y,\lambda$)
${3\sqrt{y}}/{2\sqrt{x}}+\lambda(2xy+1)=0,\quad {3\sqrt{x}}/{2\sqrt{y}}+\lambda(x^2+2y)=0,\quad x^2 y+y^2+x-3=0$.
Risolvi questo sistema ed avrai la tua risposta.
L'unica cosa da fare è usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: poni $F(x,y,\lambda)=3\sqrt{xy}+\lambda(x^2 y+y^2+x-3)$ da cui hai le condizioni (derivando $F$ rispetto a $x,y,\lambda$)
${3\sqrt{y}}/{2\sqrt{x}}+\lambda(2xy+1)=0,\quad {3\sqrt{x}}/{2\sqrt{y}}+\lambda(x^2+2y)=0,\quad x^2 y+y^2+x-3=0$.
Risolvi questo sistema ed avrai la tua risposta.
Perfetto, ciampax, grazie mille! Solo una domanda: in base al Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange, devo ricavare dalle prime due equazioni del sistema le soluzioni in $x$ ed $y$, porle quali coordinate dei punti "sospetti" massimi/minimi e solo dopo sostituire le coordinate di questi punti, nell' equazione del vincolo, al fine di vedere per quale $lambda$ gli appartenga, no? Grazie ancora!
Mah, in realtà, quello che a te serve è trovare i valori di $x$ e $y$ buoni, del valore di $\lambda$ ti importa poco. Di solito io cerco di farlo sparire in modo da ottenre due equazioni in $x,\ y$ soltanto (l'ultima e una combinazione delle prime due) e poi risolvo quelle.
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