Problema con norma di un funzionale lineare
Ciao a tutti!
È è il primo post che inserisco nel forum anche se da tempo lo utilizzo per trovare esercizi svolti e cose affini, siete fantastici!
Ho un problema con un esercizio di Analisi Funzionale.
Dato $ T: C([0,1]) rarr C([0,1]) $ funzionale lineare definito da $ Tf(x) = \int_0^x e^yf(y) \ \text{d} y $ determinare se è continuo e determinarne la norma. Su $ C([0,1]) $ si considera ovviamente la norma \(\lVert \cdot \rVert_∞\).
Ora io (credo) di aver dimostrato la continuità di $T$ dimostrandone la limitatezza con queste maggiorazioni:
\(\lVert Tf \rVert_∞ = sup ( |\int_0^x e^yf(y) \ \text{d} y | 0≤x≤1) ≤ sup ( \int_0^x | e^yf(y)| \ \text{d} y 0≤x≤1) ≤ sup ( ( \int_0^1 | e^yf(y)| \ \text{d} y) ≤ \int_0^1 | ef(y)| \ \text{d} y) = e\int_0^1 | f(y)| \ \text{d} y) ≤ e ( (1-0) \cdot max f(x) ) = e\lVert f(x) \rVert_∞\
\)
Quindi a questo punto devo trovare una $ u(x) $ con \( \lVert u(x) \rVert_∞\ ≤ 1 \) e tale che \( \lVert Tu(x) \rVert_∞\ ≥ e \) in modo da dimostrare che la norma del funzionale $ T $ vale proprio $ e $ essendo \( \lVert T \rVert_\ ≥ \lVert Tf(x) \rVert_∞\ \) per ogni $ f(x) $ che ha norma $ ≤ 1 $.
E qui casca l'asino sto provando da ore a trovare la funzione giusta ma niente, arrivo sempre che $ ||T|| ≥ 1 $ ma non oltre.
Quindi a questo punto o ho sbagliato la prima dimostrazione sulla continuità, trovando una costante sbagliata...oppure non so proprio che pesci prendere!
Scusate se mancano alcuni spazi e le parentesi graffe e quadre ma pur inserendole non me le vede..forse sbaglio qualcosa anche li!
È è il primo post che inserisco nel forum anche se da tempo lo utilizzo per trovare esercizi svolti e cose affini, siete fantastici!
Ho un problema con un esercizio di Analisi Funzionale.
Dato $ T: C([0,1]) rarr C([0,1]) $ funzionale lineare definito da $ Tf(x) = \int_0^x e^yf(y) \ \text{d} y $ determinare se è continuo e determinarne la norma. Su $ C([0,1]) $ si considera ovviamente la norma \(\lVert \cdot \rVert_∞\).
Ora io (credo) di aver dimostrato la continuità di $T$ dimostrandone la limitatezza con queste maggiorazioni:
\(\lVert Tf \rVert_∞ = sup ( |\int_0^x e^yf(y) \ \text{d} y | 0≤x≤1) ≤ sup ( \int_0^x | e^yf(y)| \ \text{d} y 0≤x≤1) ≤ sup ( ( \int_0^1 | e^yf(y)| \ \text{d} y) ≤ \int_0^1 | ef(y)| \ \text{d} y) = e\int_0^1 | f(y)| \ \text{d} y) ≤ e ( (1-0) \cdot max f(x) ) = e\lVert f(x) \rVert_∞\
\)
Quindi a questo punto devo trovare una $ u(x) $ con \( \lVert u(x) \rVert_∞\ ≤ 1 \) e tale che \( \lVert Tu(x) \rVert_∞\ ≥ e \) in modo da dimostrare che la norma del funzionale $ T $ vale proprio $ e $ essendo \( \lVert T \rVert_\ ≥ \lVert Tf(x) \rVert_∞\ \) per ogni $ f(x) $ che ha norma $ ≤ 1 $.
E qui casca l'asino sto provando da ore a trovare la funzione giusta ma niente, arrivo sempre che $ ||T|| ≥ 1 $ ma non oltre.
Quindi a questo punto o ho sbagliato la prima dimostrazione sulla continuità, trovando una costante sbagliata...oppure non so proprio che pesci prendere!
Scusate se mancano alcuni spazi e le parentesi graffe e quadre ma pur inserendole non me le vede..forse sbaglio qualcosa anche li!
Risposte
The problem is that the norm is not $e$. You can bound $\|Tf\|_{\infty}$ in a better way:
$$\|Tf\|_\infty=\sup_{0\leq x\leq 1}|\int_0^x e^y f(y)dy|\leq \|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}\int_0^x e^ydy=\|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}e^x-1=\|f\|_\infty(e-1).$$
Now you know that the operator norm is less than $e-1$. Try to find a continuous function $f$ in $(0,1)$ with $\|f\|_\infty=1$ satisfying $\|Tf\|_\infty= e-1$ and you'll be done
$$\|Tf\|_\infty=\sup_{0\leq x\leq 1}|\int_0^x e^y f(y)dy|\leq \|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}\int_0^x e^ydy=\|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}e^x-1=\|f\|_\infty(e-1).$$
Now you know that the operator norm is less than $e-1$. Try to find a continuous function $f$ in $(0,1)$ with $\|f\|_\infty=1$ satisfying $\|Tf\|_\infty= e-1$ and you'll be done
O thank you @javicemarpe!
But I don't understand why you can bound $$ \|Tf\|_\infty $$ in that way.
Why $$ sup_{0\leq x\leq 1}|\int_0^x e^y f(y)dy|\leq \|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}\int_0^x e^ydy $$ ???
Then $ f = 1 $ it works!
But I don't understand why you can bound $$ \|Tf\|_\infty $$ in that way.
Why $$ sup_{0\leq x\leq 1}|\int_0^x e^y f(y)dy|\leq \|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}\int_0^x e^ydy $$ ???
"javicemarpe":
Now you know thatI operator norm is less than $e-1$. Try to find a continuous function $f$ in $(0,1)$ with $\|f\|_\infty=1$ satisfying $\|Tf\|_\infty= e-1$ and you'll be done
Then $ f = 1 $ it works!
"whaks":
O thank you @javicemarpe!
But I don't understand why you can bound $$ \|Tf\|_\infty $$ in that way.
Why $$ sup_{0\leq x\leq 1}|\int_0^x e^y f(y)dy|\leq \|f\|_\infty \sup_{0\leq x\leq 1}\int_0^x e^ydy $$ ???
[quote="javicemarpe"]
Now you know thatI operator norm is less than $e-1$. Try to find a continuous function $f$ in $(0,1)$ with $\|f\|_\infty=1$ satisfying $\|Tf\|_\infty= e-1$ and you'll be done
Then $ f = 1 $ it works![/quote]
Well, first you have to put the absolute value inside the integral and then you can bound $|f(y)|$ by $\|f\|_\infty$, which is a constant and then goes out of the integral.
Yes!
Then $ f = 1 $ it works!
"javicemarpe":
Well, first you have to put the absolute value inside the integral and then you can bound $|f(y)|$ by $\|f\|_\infty$, which is a constant and then goes out of the integral.
I've been so dumb!
thanks again!
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